Побудувати криву $9x^2−49y^2+18x−490y-775=0$. Знайти координати її фокусів та ексцентриситет

Дано: рівняння кривої другого порядку $9x^2 - 49y^2 + 18x - 490y-775 = 0$

1. Запишемо рівняння кривої в канонічному вигляді.
В даному рівнянні є тільки члени другого і першого ступеня (немає змішаного добутку), тому канонічне рівняння будемо отримувати методом виділення повного квадрата.

$$9x^2 - 49y^2 + 18x- 490y-775 = 0 = >$$ $$9 (x^2 + 2x) -49 (y^2 + 10y) -775 = 0 = >$$ доповнюємо члени в дужках до повного квадрата $$9 (x^2 + 2x + 1-1) -49 (y^2 + 2 * 5y + 25-25) -775 = 0 = >$$ $$9 (x + 1)^2 -49 (y + 5)^2 + 441 = 0 = >$$ $$-9 (x + 1)^2 + 49 (y + 5 )^2 = 441 = >$$ розділимо обидві частини рівняння на 441 $$- \frac{(x + 1)^2}{49} + \frac{(y + 5)^2}{9} = 1 = > \quad (1)$$
Отримали рівняння гіперболи.

Розглянемо канонічне рівняння гіперболи

$$\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$$ знак мінус стоїть перед змінної x, це означає, що дійсна вісь - вісь Oy, уявна вісь - вісь Ox. Вершини гіперболи лежать га вісь Oy симетрично відносно початку координат.

Для того, щоб привести рівняння (1) до канонічного виду введемо нові координати $x'= x + 1; y' = y + 5$, підставляємо в рівняння (1) і отримуємо канонічне рівняння гіперболи в новій системі координат (x'; y'), яка зміщена щодо базової системи координат на по осі Оx вліво на 1 і по осі Оy вниз на 5, отримуємо $$\frac{(y')^2}{9} - \frac{(x')^2}{49} = 1$$

2. Знайдемо півосі гіперболи:
Канонічне рівняння гіперболи має вигляд $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$, де $a$ і $b$ - півосі гіперболи, тобто $a = 7; \quad b = 3$,
$a = 7$ - уявна піввісь
$b = 3$ - дійсна піввісь
Відповідь : півосі гіперболи дорівнюють $a = 7; \quad b = 3$

3. Знайдемо координати вершин гіперболи.
Вершини гіперболи - точки перетину гіперболи з дійсною віссю. Дійсна вісь -ось Oy і гіпербола симетрична щодо осі Ox, тому координати вершин $A_1 (0; -b); A_2 (0; b)$, де $b = 3$ - дійсна піввісь.
Дані координати для системи координат $(x'; y')$, повертаємося до базових координатам $x'= x + 1; y' = y + 5 = > x = x'-1; y = y'-5$, координати вершин в базовій системі координат $A_1 (-1; -b-5); A_2 (-1; b-5)$, одержуємо $A_1 (-1; -8); A_2 (-1; -2)$

Відповідь : координати вершин в базовій системі координат $A_1 (-1; -8); A_2 (-1; -2)$

4. Знайдемо координати фокусів гіперболи:
Для знаходження координат фокусів, скористаємося співвідношенням, що зв'язує піввісь і фокусна відстань $c^2 = a^2 + b^2$, підставляємо значення $c^2 = 7^2 + 3^2 = > c = \sqrt{58} \approx 7.6$. Координати фокусів для гіперболи, заданої в канонічному вигляді, наступні з дійсною віссю Oy $F_1 (0; -c); F_2 (0; c)$

Дані координати для системи координат $(x'; y')$, повертаємося до базових координатам $x'= x + 1; y' = y + 5 = > x = x' -1; y = y'-5$, координати фокусів у базовій системі координат $F_1 (-1; -c-5); F_2 (-1; c-5)$, одержуємо $F_1 ( -1; -12.6); F_2 (-1; 2.6)$

Відповідь : координати фокусів гіперболи в базовій системі координат $F_1 (-1; -12.6); F_2 (-1; 2.6)$

5.Найдем асимптоти гіперболи:
Рівняння асимптот мають вигляд $y = \pm \frac{b}{a} x$. Підставляємо дані і отримувати дві асимптоти в новій системі координат $y'= \frac{3}{7} x'; \quad y'= - \frac{3}{7} x'$

Дані координати для системи координат $(x'; y')$, повертаємося до базових координатам $x'= x + 1; y' = y + 5$, рівняння асимптот матимуть вигляд,

$$y + 5 = \frac{3}{7} (x + 1); \quad y + 5 = - \frac{3}{7} (x + 1) = >$$ $$y = \frac{3}{7} x - \frac{32}{7} \quad y = - \frac{3}{7} x - \frac{38}{7}$$

Відповідь : рівняння асимптот гіперболи $y = \frac{3}{7} x - \frac{32}{7} \quad y = - \frac{3}{7} x - \frac{38}{7}$

6. Знайдемо ексцентриситет гіперболи:
Ексцентриситет гіперболи будемо шукати за формулою

$$\epsilon = \frac{c}{a} = \sqrt{1+ (\frac{b}{a})^2}$$ підставляємо дані $$\epsilon = \frac{\sqrt{58}}{7}$$

Відповідь : ексцентриситет гіперболи $\epsilon = \frac{\sqrt{58}}{7}$

7. Малюнок: