Решение: найдем частные производные функции двух переменных \(z= arctan(x-4y)+e^{2x+y^2} \)
1. частная производная функции по \(x\), \(z'_x\). Считаем \(y\) постоянной и дифференцируем функцию \(z(x;y)\) как функцию от одной переменной \(x\), т.е. находим производную \(z'(x)\)
$$z'_x = \frac{\partial }{\partial x}( arctan(x-4y)+e^{2x+y^2}) = $$ применяем формулу производной сложной функции \((f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)\),
применяем формулу производной показательной функции \((a^x)' = a^x\ln(a)\) и
применяем формулу производной обратной тригонометрической функции \( arctan(x) = \frac{1}{1+x^2}\)
$$ = \frac{1}{1+(x-4y)^2}\frac{\partial }{\partial x}(x-4y) + e^{2x+y^2}\frac{\partial }{\partial x}(2x+y^2) = $$$$ = \frac{1}{1+(x-4y)^2} + 2e^{2x+y^2}$$
Ответ: частная производная \(z'_x= \frac{\partial }{\partial x}(arctan(x-4y)+e^{2x+y^2}) = \frac{1}{1+(x-4y)^2} + 2e^{2x+y^2}\)
2. частная производная функции по \(y\), \(z'_y\). Считаем \(x\) постоянной и дифференцируем функцию \(z(x;y)\) как функцию от одной переменной \(y\), т.е. находим производную \(z'(y)\)
$$ z'_y = \frac{\partial }{\partial y}( arctan(x-4y)+e^{2x+y^2}) = $$ применяем формулу производной сложной функции \((f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)\),
применяем формулу производной показательной функции \((a^x)' = a^x\ln(a)\) и
применяем формулу производной обратной тригонометрической функции \( arctan(x) = \frac{1}{1+x^2}\)
$$ = \frac{1}{1+(x-4y)^2}\frac{\partial }{\partial y}(x-4y) + e^{2x+y^2}\frac{\partial }{\partial y}(2x+y^2) = $$$$ = -4\frac{1}{1+(x-4y)^2} + 2ye^{2x+y^2} $$
Ответ: частная производная \(z'_y= \frac{\partial }{\partial y}(arctan(x-4y)+e^{2x+y^2}) = -4\frac{1}{1+(x-4y)^2} + 2ye^{2x+y^2} \)
3. частная производная функции \( \frac{\partial^2 }{\partial x \partial y}( arctan(x-4y)+e^{2x+y^2})\).
Воспользуемся формулой частной производной \( \frac{\partial }{\partial x}(arctan(x-4y)+e^{2x+y^2}) = \frac{1}{1+(x-4y)^2} + 2e^{2x+y^2}\) и найдем частную производную полученной функции по \(y\)
Считаем \(x\) постоянной и дифференцируем функцию \(z'(x;y)_x\) как функцию от одной переменной \(y\), т.е. находим производную \((z'(x;y)_x)'_y\)
$$ \frac{\partial^2 }{\partial x \partial y}( arctan(x-4y)+e^{2x+y^2}) = \frac{\partial }{\partial y}( \frac{1}{1+(x-4y)^2} + 2e^{2x+y^2})$$
применяем формулу производной сложной функции \((f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)\),
применяем формулу производной показательной функции \((a^x)' = a^x\ln(a)\) и
применяем формулу производной дроби \( \frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2}\), получаем
$$ \frac{\partial }{\partial y}( \frac{1}{1+(x-4y)^2} + 2e^{2x+y^2}) = $$$$ = -\frac{2(x-4y)*(-4)}{(1+(x-4y)^2)^2} + 2e^{2x+y^2}*2y = $$$$ = 8\frac{x-4y}{(1+(x-4y)^2)^2} + 4ye^{2x+y^2}$$
Ответ: частная производная \(\frac{\partial^2 }{\partial x \partial y}( arctan(x-4y)+e^{2x+y^2}) = 8\frac{x-4y}{(1+(x-4y)^2)^2} + 4ye^{2x+y^2}\)
4. частная производная функции \( \frac{\partial^2 }{\partial y \partial x}( arctan(x-4y)+e^{2x+y^2})\).
Воспользуемся формулой частной производной \( \frac{\partial }{\partial y}(arctan(x-4y)+e^{2x+y^2}) = -4\frac{1}{1+(x-4y)^2} + 2ye^{2x+y^2}\) и найдем частную производную полученной функции по \(x\)
Считаем \(y\) постоянной и дифференцируем функцию \(z'(x;y)_y\) как функцию от одной переменной \(x\), т.е. находим производную \((z'(x;y)_y)'_x\)
$$ \frac{\partial^2 }{\partial y \partial x}( arctan(x-4y)+e^{2x+y^2}) = \frac{\partial }{\partial x}(-4\frac{1}{1+(x-4y)^2} + 2ye^{2x+y^2})$$
применяем формулу производной сложной функции \((f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)\),
применяем формулу производной показательной функции \((a^x)' = a^x\ln(a)\) и
применяем формулу производной дроби \( \frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2}\), получаем
$$ \frac{\partial }{\partial x}( -4\frac{1}{1+(x-4y)^2} + 2ye^{2x+y^2}) = $$$$ = 4\frac{2(x-4y)}{(1+(x-4y)^2)^2} + 2ye^{2x+y^2}*2 = $$$$ = 8\frac{x-4y}{(1+(x-4y)^2)^2} + 4ye^{2x+y^2}$$
Ответ: частная производная \(\frac{\partial^2 }{\partial y \partial x}( arctan(x-4y)+e^{2x+y^2}) = 8\frac{x-4y}{(1+(x-4y)^2)^2} + 4ye^{2x+y^2}\)
Сравниваем ответы п.3 и п.4, получаем, что $$\frac{\partial^2 }{\partial y \partial x} = \frac{\partial^2 }{\partial x \partial y}$$
