Для функції $$z=f(x,y)$$ знайти частинні похідні другого порядку

Решение: найдем частные производные функции двух переменных $z=  arctan(x-4y)+e^{2x+y^2}$
1. частная производная функции по $x$, $z'_x$. Считаем $y$ постоянной и дифференцируем функцию  $z(x;y)$ как функцию от одной переменной $x$, т.е. находим производную $z'(x)$

$$z'_x = \frac{\partial }{\partial x}( arctan(x-4y)+e^{2x+y^2})  =$$  применяем формулу производной сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$, 
применяем формулу производной показательной функции $(a^x)' = a^x\ln(a)$ и
применяем формулу производной обратной тригонометрической функции $arctan(x) = \frac{1}{1+x^2}$
$$= \frac{1}{1+(x-4y)^2}\frac{\partial }{\partial x}(x-4y) + e^{2x+y^2}\frac{\partial }{\partial x}(2x+y^2) =$$ $$=  \frac{1}{1+(x-4y)^2} + 2e^{2x+y^2}$$

Ответ:  частная производная $z'_x=  \frac{\partial }{\partial x}(arctan(x-4y)+e^{2x+y^2}) =  \frac{1}{1+(x-4y)^2} + 2e^{2x+y^2}$

2. частная производная функции по $y$, $z'_y$. Считаем $x$ постоянной и дифференцируем функцию $z(x;y)$ как функцию от одной переменной $y$, т.е. находим производную $z'(y)$

$$z'_y = \frac{\partial }{\partial y}( arctan(x-4y)+e^{2x+y^2})  =$$  применяем формулу производной сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$, 
применяем формулу производной показательной функции $(a^x)' = a^x\ln(a)$ и
применяем формулу производной обратной тригонометрической функции $arctan(x) = \frac{1}{1+x^2}$ 
$$= \frac{1}{1+(x-4y)^2}\frac{\partial }{\partial y}(x-4y) + e^{2x+y^2}\frac{\partial }{\partial y}(2x+y^2) =$$ $$= -4\frac{1}{1+(x-4y)^2} + 2ye^{2x+y^2}$$  

Ответ:  частная производная $z'_y=  \frac{\partial }{\partial y}(arctan(x-4y)+e^{2x+y^2}) =  -4\frac{1}{1+(x-4y)^2} + 2ye^{2x+y^2}$

3. частная производная функции  $\frac{\partial^2 }{\partial x \partial y}( arctan(x-4y)+e^{2x+y^2})$.
Воспользуемся формулой частной производной $\frac{\partial }{\partial x}(arctan(x-4y)+e^{2x+y^2}) =  \frac{1}{1+(x-4y)^2} + 2e^{2x+y^2}$ и найдем частную производную полученной функции по $y$
Считаем $x$ постоянной и дифференцируем функцию  $z'(x;y)_x$ как функцию от одной переменной $y$, т.е. находим производную $(z'(x;y)_x)'_y$

$$\frac{\partial^2 }{\partial x \partial y}( arctan(x-4y)+e^{2x+y^2})  = \frac{\partial }{\partial y}( \frac{1}{1+(x-4y)^2} + 2e^{2x+y^2})$$  
применяем формулу производной сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$, 
применяем формулу производной показательной функции $(a^x)' = a^x\ln(a)$ и 
применяем формулу производной дроби $\frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2}$, получаем
$$\frac{\partial }{\partial y}( \frac{1}{1+(x-4y)^2} + 2e^{2x+y^2}) =$$ $$= -\frac{2(x-4y)*(-4)}{(1+(x-4y)^2)^2} + 2e^{2x+y^2}*2y =$$ $$= 8\frac{x-4y}{(1+(x-4y)^2)^2} + 4ye^{2x+y^2}$$

Ответ:  частная производная $\frac{\partial^2 }{\partial x \partial y}( arctan(x-4y)+e^{2x+y^2}) = 8\frac{x-4y}{(1+(x-4y)^2)^2} + 4ye^{2x+y^2}$

4. частная производная функции  $\frac{\partial^2 }{\partial y \partial x}( arctan(x-4y)+e^{2x+y^2})$. 
Воспользуемся формулой частной производной $\frac{\partial }{\partial y}(arctan(x-4y)+e^{2x+y^2}) =   -4\frac{1}{1+(x-4y)^2} + 2ye^{2x+y^2}$ и найдем частную производную полученной функции по $x$
Считаем $y$ постоянной и дифференцируем функцию  $z'(x;y)_y$ как функцию от одной переменной $x$, т.е. находим производную $(z'(x;y)_y)'_x$

$$\frac{\partial^2 }{\partial y \partial x}( arctan(x-4y)+e^{2x+y^2})  = \frac{\partial }{\partial x}(-4\frac{1}{1+(x-4y)^2} + 2ye^{2x+y^2})$$  
применяем формулу производной сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$, 
применяем формулу производной показательной функции $(a^x)' = a^x\ln(a)$ и 
применяем формулу производной дроби $\frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2}$, получаем
$$\frac{\partial }{\partial x}( -4\frac{1}{1+(x-4y)^2} + 2ye^{2x+y^2}) =$$ $$= 4\frac{2(x-4y)}{(1+(x-4y)^2)^2} + 2ye^{2x+y^2}*2 =$$ $$= 8\frac{x-4y}{(1+(x-4y)^2)^2} + 4ye^{2x+y^2}$$

Ответ:  частная производная $\frac{\partial^2 }{\partial y \partial x}( arctan(x-4y)+e^{2x+y^2}) = 8\frac{x-4y}{(1+(x-4y)^2)^2} + 4ye^{2x+y^2}$
Сравниваем ответы п.3 и п.4, получаем, что

$$\frac{\partial^2 }{\partial y \partial x} = \frac{\partial^2 }{\partial x \partial y}$$