Для нахождения интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница $$\int_a^b f(x) \,dx = F(x) |_a^b = F(b) - F(a)$$ где F(x) - первообразная функции f(x). Найдем первообразную и подставим ее в формулу $$\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx = $$в данном интеграле необходимо избавиться от иррациональности в знаменателе. При этом в числителе есть \(x\), поэтому целесообразно ввести замену $$t^2 = x^2 + 1 => 2tdt = 2xdx => tdt = xdx => t = \sqrt{x^2+1}$$ подставим замену и получим $$= \int \frac{t}{\sqrt{t^2}}dt = \int \frac{t}{t}dt = \int dt = t + С =$$применим обратную замену $$=\sqrt{x^2+1} +C $$Подставим полученный результат в формулу Ньютона-Лейбница $$\int_1^2 \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx = \sqrt{x^2+1} |_1^2 = \sqrt{2^2+1} - \sqrt{1^2+1} = \sqrt{5} - \sqrt{2}$$Ответ: \( \int_1^2\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx = \sqrt{5} - \sqrt{2}\)
