Знайдемо межа : $$ \lim_{x \to 0}\frac{4x}{\sin(x)+\sin(7x)} $$
Рішення :
Знайдемо межу $$ \lim_{x \to 0} \frac{4x}{\sin(x)+\sin(7x)} = \frac{4*0}{\sin(0)+\sin(70)} = \frac{0}{0} $$ отримали невизначеність виду \( \frac{0}{0} \).
Дану невизначеність можна розв'язати застосовуючи правило Лопіталя.
Правило Лопіталя
$$ \lim_ {x \to a} \frac {f (x)}{g (x)} = \lim_ {x \to a} \frac {f '(x)}{g' (x)} = \frac {f '(a)}{g' (a)} $$
Застосовуємо правило Лопіталя
$$ \lim_{x \to 0} \frac{4x}{\sin(x)+\sin(7x)} = \lim_{x \to 0} \frac{(4x)'}{(\sin(x)+\sin(7x))'} = $$$$ = \lim_{x \to 0} \frac{4}{ \cos(x)+7\cos(7x)} = \frac{4}{\cos(0)+7\cos(7*0)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$
Відповідь: \( \lim_{x \to 0}\frac{4x}{\sin(x)+\sin(7x)} = \frac{1}{2} \)
