Решение:
Запишем комплексное число \(z = \frac{(1+i*\sqrt{3})^2}{2i^5}\) в алгебраической форме.
выполним действия над комплексными числами $$ z= \frac{(1+i*\sqrt{3})^2}{2i^5} = \frac{1 + 2i*\sqrt{3} -3}{2i^2*i^2*i} =$$ учтем, что \(i^2 = -1\), получаем $$ = \frac{i*\sqrt{3} -1}{i} = $$ избавимся в знаменателе от комплексного числа, умножим числитель и знаменатель на \( \frac{i}{i}\), получаем$$ = \frac{i*\sqrt{3} -1}{i} \frac{i}{i} = \sqrt{3} + i$$
Ответ: комплексное число \(z\) в алгебраической форме \(z = \sqrt{3} + i\)
Запишем комплексное число \(z = \sqrt{3}+i\) в тригонометрической форме
тригонометрическая форма комплексного числа $$ z = \rho (\cos(\phi) + i\sin(\phi)) \quad (2)$$ где \(\rho = |z|\), \( \phi = Arg z\)
найдем модуль числа z
\(|z| = \sqrt{x^2+ y^2} \), где действительная часть комплексного \(x = \Re z = \sqrt{3}\), мнимая часть комплексного числа \(y = \Im z = 1\), получаем $$|z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2} = 2 $$
найдем аргумент комплексного числа $$arg z = \begin{cases} arctg\frac{y}{x}, \text{ если x > 0}\\ \pi + arctg\frac{y}{x}, \text{ если x < 0, y}\geq 0 \\ -\pi + arctg\frac{y}{x}, \text{ если x < 0, y < 0} \\ \frac{\pi}{2}, \text{ если x = 0, y > 0 } \\ -\frac{\pi}{2}, \text{ если x = 0, y < 0 } \end{cases}$$ т.к. \(x = \sqrt{3} > 0\), \(y = 1 > 0\), получаем \(arg z = arctg\frac{y}{x} = arctg\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6}\) подставляем в (2) $$z = 2 (\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6}))$$
Ответ: комплексное число \(z\) в тригонометрической форме \(z = 2 (\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6}))\)
Запишем комплексное число \(z = \sqrt{3}+i\) в показательной форме
Любое комплексное число можно записать в показательной форме \(z = \rho e^{i\phi}\), где \(\rho = |z|\), \(\phi = Arg z\), подставляем значения модуля и аргумента $$z = 2e^{\frac{\pi}{6}i} $$
Ответ: комплексное число \(z\) в показательной форме \( z = 2e^{\frac{\pi}{6}i} \)
\(z =\frac{(1+i*\sqrt{3})^2}{2i^5} = \sqrt{3}+i = 2 (\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6})) = 2e^{\frac{\pi}{6}i} \)
