Случайная величина задана функцией распределения F(x).Найти плотность распределения f(x), математиче

Решение:
1. Найдем плотность распределения.
плотность распределения и функция распределения случайной величины связаны соотношением $$F'(x) = p(x)$$ найдем плотность распределения на каждом интервале:
$(-\infty;0)$ плотность равна $p(x) = F'(x) = (0)' = 0$
$[0;5]$ плотность равна $p(x) = F'(x) = (\frac{1}{5}x)' = \frac{1}{5}$
$(5;+\infty)$ плотность равна $p(x) = F'(x) = (1)' = 0$

Получили следующую функцию плотности распределения $$\begin{cases}  0, \text{  при } x < 0 \\ \frac{1}{5}, \text{  при } x \in [0;5] \\ 0, \text{  при } x > 5 \end{cases}$$  

2. Найдем математическое ожидание.
Математическое ожидание случайной величины X будем искать по формуле $$M(X) = \int_a^bxp(x)dx$$ Получаем $$M(X) = \int_{-\infty}^0x*0dx+\int_0^{5}x\frac{1}{5}dx+\int_5^{\infty}x*0dx = \frac{x^2}{10}|_0^5 = 2.5$$

3. Найдем дисперсию случайной величины.
Дисперсия случайной величины $X$, все значения которой принадлежат отрезку $[a,b]$ определяется формулой $$D(X) = \int_a^b(x-M(x))^2p(x)dx = \int_a^bx^2p(x)dx - (M(X))^2$$ Получаем $$D(X) =  \int_{-\infty}^{\infty}x^2p(x)dx - 2.5^2 =$$ $$= \int_{-\infty}^{0}x^2*0dx + \int_{0}^{5}x^2*\frac{1}{5}dx + \int_{5}^{\infty}x^2*0dx - 2.5^2 =$$ $$= \frac{x^3}{15}|_0^5 - 2.5^2 \approx  2.083$$