Обращаю внимание, что в данной задаче не говорится о постоянстве вероятностей, поэтому формула Бернулли не применяется.
Приступаем к решению. Обозначим за
событие \(A\) - взяли свежий фрукт,
событие \(B\) - взяли испорченный продукт.
В задаче рассмотрим три исхода испытания
1. Взяли только свежие фрукты.
2. Взяли только испорченные продукты.
3. Взяли как свежие, так и испорченные.
Расчет вероятностей по всем исходам испытаний будет одинаковым, но во 3 случае очень много расчетов, поэтому рассчитаем вероятности п.1 и п.2 исходов испытаний. Так как вероятность наступления у всех трех исходов равна 1, то после вычитания полученных вероятностей из 1 и получим искомую вероятность.
1. Найдем вероятность, что взяли 4 свежих фрукта. Согласно классического определения вероятности вероятность равна$$p = \frac{m}{n}$$где \(m\) - число благоприятствующих событий,
\(n\) - общее число равновозможных событий.
Когда мы берем первый фрукт, то в коробке лежит \(n = 70\) - общее число фруктов, \(m = 60\) - свежих, тогда вероятность того, что в 1-м испытании был свежий фрукт равна \(p(A_1) = \frac{60}{70}\)
Когда мы берем второй фрукт, в коробке уже осталось \(m = 59\), \(n = 69\) => \(p(A_2) = \frac{59}{69}\)
Для третьего \(p(A_3) = \frac{58}{68}\)
Для четвертого \(p(A_4) = \frac{57}{67}\)
Найдем общую вероятность того, что все 4 фрукта свежие. Применим формулу вероятности совместного наступления событий или ее еще называют вероятность произведения, при этом все событий независимые $$P(A_1A_2A_3A_4) = p(A_1)*p(A_2)*p(A_3)*p(A_4)$$подставим в формулу наши данные и получим $$P(A_1A_2A_3A_4) = \frac{60}{70}*\frac{59}{69}*\frac{58}{68}* \frac{57}{67} \approx 0,5318$$
2. Аналогично для испорченных фруктов
Для первого \(p(B_1) = \frac{10}{70}\)
Для второго \(p(B_2) = \frac{9}{69}\)
Для третьего \(p(B_3) = \frac{8}{68}\)
Для четвертого \(p(B_3) = \frac{7}{67}\)
Тогда общая вероятность того, что все 4 фрукта испорченные равна $$P(B_1B_2B_3B_4) = \frac{10}{70}*\frac{9}{69}*\frac{8}{68}* \frac{7}{67} \approx 0,0002$$
3. Найдем вероятность того, что взяли как испорченные так и свежие фрукты $$P = 1 - P(A_1A_2A_3A_4) - P(B_1B_2B_3B_4) = 1 - 0,5318 - 0,0002 = 0,468$$Ответ: вероятность того, что наугад взяли как свежие так и испорченные фрукты равна \(P = 0,468\)
