Решение:
Определения:
Кинетическая энергия – это энергия, которой тело обладает вследствие своего движения. Кинетическая энергия тела массой m, движущегося со скоростью υ равна работе, которую должна совершить сила, приложенная к покоящемуся телу, чтобы сообщить ему эту скорость: $$ W_k = \frac{mv^2}{2} \quad (1)$$
Если тело перемещается вблизи поверхности Земли, то на него действует постоянная по величине и направлению сила тяжести Работа этой силы равна изменению некоторой физической величины \(mgh\) (где h – высота, отсчитываемая от некоторого нулевого уровня), взятому с противоположным знаком. Эту физическую величину называют потенциальной энергией тела в поле силы тяжести: $$ W_n = mgh \quad (2)$$
Приступаем к решению:
1. определим кинетическую \(W_k\), потенциальную \(W_n\) и полную энергии тела через t = 0,4 с после начала движения.
Кинетическая энергия \(W_k = \frac{mv^2}{2}\)
Найдем скорость движения тела \(v\) через t = 0,4с
Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно представить как результат сложения двух составляющих движения
первое - равномерное движение со скоростью \(V_x\) вдоль оси Ox в горизонтальном направлении.
второе - равнопеременное движение с начальной скоростью \(V_y\) вдоль оси Oy вертикально вверх
Модуль постоянной горизонтальной скорости равен \(v_x = v_0\cos(a)\)
Модуль вертикальной составляющей определяется уравнением \(v_y = v_0\sin(a) - gt\)
Вектор результирующей скорости \( \vec{v} = \vec{v_x}+\vec{v_y}\).
Численное значение результирующей скорости $$v = \sqrt{v_x^2+v_y^2} = \sqrt{(v_0\cos(a))^2+(v_0\sin(a) - gt)^2} \quad (3)$$
Подставляем данные задачи в формулу (3) \(v_0 = 10m/c; a = 30^0\)$$ v = \sqrt{(10\cos(30))^2+(10\sin(30) - 9.8*0.4)^2} \approx 8.73$$
Кинетическая энергия $$ W_k = \frac{mv^2}{2} = \frac{0.5*8.73^2}{2} \approx 19.05$$
Потенциальная энергией \( W_n = mgh \)
Найдем высоту.
Высота, на которую поднимется тело рассчитывается по формуле равнозамедленного движения $$ h = v_ot\sin(a)-g\frac{t^2}{2} \quad (4)$$ Подставляем данные в (4)
$$h = 10*0.4 \sin(30)-9.8\frac{0.4^2}{2} \approx 1.22$$ Подставляем в формулу потенциальной энергии $$W_n = 0.5*9.8*1.22 \approx 5.89$$
Полная энергия $$ W = W_k+W_n$$
Подставляем данные $$W = 19.05 + 5.98 = 25.03$$
Для проверки, найдем полную энергию в начальной точке, в которой \(W_n = 0; \quad W_k = \frac{mv_0^2}{2}= \frac{0.5*10^2}{2} = 25 \)
2. определим кинетическую \(W_k\), потенциальную \(W_n\) и полную энергии тела в высшей точке траектории.
В наивысшей точке траектории \(v_y=0\), т.е. кинетическая энергия равна \(W_k = \frac{mv_x^2}{2} = \frac{0.5*(10\cos(30))^2}{2} = 18.75 \).
Согласно закона сохранения энергии - во всех точках траектории \(W = W_k+W_n = const =>\) в наивысшей точке при \( W_n = W - W_k = 25 - 18.75 = 6.25\), получаем, что \(W_n = 6.25\).
Проверяем. Высота на которую поднимется тело $$H = \frac{v_0^2\sin^2(a)}{2g} = \frac{10^2\sin^2(30)}{2*9.8} \approx 1.28$$ тогда потенциальная энергия равна $$W_n = mgh = 0.5*9.8*1.28 = 6.27$$
