Исследуем функцию \(y=-\frac{x^3}{5}+\frac{6x^2}{5}+3x-12\) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения $$D_f=(-\infty; +\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция не имеет точек разрыва т.к. область определения \(x \in R\).
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) =-\frac{(-x)^3}{5}+\frac{6(-x)^2}{5}+3(-x)-12 = \frac{x^3}{5}+\frac{6x^2}{5}-3x-12\) функция не является ни четной ни нечетной.
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
Нули функции (точка пересечения с осью Ox):
приравняем \(y=0\), получим \( -\frac{x^3}{5}+\frac{6x^2}{5}+3x-12 = 0 => x_1 \approx -3.4; \quad x_2 \approx 2.5; x_3 \approx 6.9 \). Кривая имеет три точки пересечения с осью Ox с координатами \((-3.4;0),(2.5;0),(6.9;0)\)
Интервалы знакопостоянства функции.
На рассматриваемом интервале \((-\infty; +\infty)\) кривая имеет три точки пересечения с осью Ox , т.е. четыре интервала знакопостоянства
Определим знак функции на этом интервале
1) интервал \(( -\infty;-3.4)\) найдем значение функции в любой точке \(f(-5) = -\frac{x^3}{5}+\frac{6x^2}{5}+3x-12 > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. находится выше оси Ox.
2) интервал \(( -3.4; 2.5)\) найдем значение функции в любой точке \(f(0) = -\frac{x^3}{5}+\frac{6x^2}{5}+3x-12 < 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox.
3) интервал \(( 2.5; 6.9)\) найдем значение функции в любой точке \(f(5) = -\frac{x^3}{5}+\frac{6x^2}{5}+3x-12 > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. находится выше оси Ox.
4) интервал \(( 6.9; +\infty)\) найдем значение функции в любой точке \(f(10) = -\frac{x^3}{5}+\frac{6x^2}{5}+3x-12< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox.
5. Точки пересечения с осью Oy: приравняем \(x=0\), получим \( y = -\frac{0^3}{5}+\frac{6*0^2}{5}+3*0-12= -12 \) , т.е кривая пересекает ось Oy в точке с координатами \((0; -12)\)
6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$ y' = ( -\frac{x^3}{5}+\frac{6x^2}{5}+3x-12)' = -\frac{3}{5}x^2+\frac{12}{5}x+3$$ приравняем к 0 $$ -\frac{3}{5}x^2+\frac{12}{5}x+3 = 0 => x_1 = -1; \quad x_2=5$$ функция имеет две критические (стационарные) точки с координатами \((-1;-13.6)\),\((5;8)\)
Интервалы монотонности.
Функция имеет две критические точки на интервале области определения \((-\infty; +\infty)\),т.е. две точки возможного экстремума функции. Эти точки делят область определения на три интервала монотонности. Определим монотонность функции на этих интервалах:
1) интервал \((-\infty;-1)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f'(-2) = -\frac{3}{5}x^2+\frac{12}{5}x+3 < 0\), на этом интервале функция убывает.
2) интервал \((-1;5)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f'(0) = -\frac{3}{5}x^2+\frac{12}{5}x+3 > 0\), на этом интервале функция возрастает.
3) интервал \(( 5; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f'(10) = -\frac{3}{5}x^2+\frac{12}{5}x+3 < 0\), на этом интервале функция убывает.
Экстремумы функции.
При исследовании функции получили две критические (стационарные) точки. Определим, является ли они экстремумами. Рассмотрим изменение знака производной при переходе через критическую точку:
1) точка \(x= -1\) производная меняет знак с \( \quad - \quad 0 \quad + \quad\) - точка минимума, а координаты точки максимума (-1;-13.6).
2) точка \(x= 5\) производная меняет знак с \( \quad + \quad 0 \quad - \quad\) - точка максимума, а координаты точки максимума (5;8).
7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = (-\frac{3}{5}x^2+\frac{12}{5}x+3)'= -\frac{6}{5}x+\frac{12}{5} $$ Приравняем к нулю $$-\frac{6}{5}x+\frac{12}{5} = 0 => x = 2$$ Функция имеет одну точу перегиба, которая делит область определения на два интервала выпуклости:
1) интервал \((-\infty;2)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(0) =-\frac{6}{5}x+\frac{12}{5} > 0 \), на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
2) интервал \((2; +\infty)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(10) =-\frac{6}{5}x+\frac{12}{5} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
Точки перегиба.
В точке \(x =2\) вторая производная меняет знак с \( \quad + \quad 0 \quad - \quad\), график функции меняет выпуклость, т.е. это точка перегиба с координатами \((2;-2.8)\).
8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции не имеет вертикальных асимптот, т.к. область определения функции \(x \in R\).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(у =-\frac{x^3}{5}+\frac{6x^2}{5}+3x-12 \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$ и второй предел $$ \lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ находим первый предел $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{-\frac{x^3}{5}+\frac{6x^2}{5}+3x-12}{x} = \infty => k= \infty$$ т.к. \(k = \infty\) - наклонной асимптоты нет.
Горизонтальная асимптота:
для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to \infty}f(x) = b$$ найдем его $$ \lim_{x \to \infty}(-\frac{x^3}{5}+\frac{6x^2}{5}+3x-12) = \infty$$
Горизонтальной асимптоты нет
9. График функции.
