Исследовать функцию и построить график

Исследуем функцию $y =\frac{4x}{4+x^2}$ и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения рациональной функции (дробь) будет: знаменатель не равен нулю, т.е. $4+x^2\ne 0 =>$.
Область определения

$$D_f=(-\infty; +\infty)$$

2. Точки разрыва функции и их классификация.

Функция не имеет точек разрыва т.к. область определения $x \in R$.

3. Четность функции.
Проверяем на четность $f(-x) =\frac{4(-x)}{4+(-x)^2}= -\frac{4x}{4+x^2}= -f(x)$ функция является нечетной, т.е. симметричной относительно точки начала координат O(0;0), поэтому далее будем исследовать график функции на интервале $(0; +\infty)$, а график на интервале $(-\infty;0)$ получим путем симметричного переноса относительноточки начала координат.

4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
Нули функции (точка пересечения с осью Ox):
приравняем $y=0$, получим $\frac{4x}{4+x^2}= 0 => x = 0$. Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox с координатами $(0;0)$

Интервалы знакопостоянства функции.
На рассматриваемом интервале $(0; +\infty)$ кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox это $x = 0$ , т.е. один интервал знакопостоянства

Определим знак функции на этом интервале

интервал $( 0; +\infty)$ найдем значение функции в любой точке $f(2) =\frac{4x}{4+x^2} > 0$, на этом интервале функция положительная $f(x) > 0$, т.е. находится выше оси Ox.

5. Точки пересечения с осью Oy:приравняем $x=0$, получим $y = \frac{4*0}{4+0^2}= 0$ , т.е кривая пересекает ось Oy в точке с координатами $(0; 0)$

6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю

$$y' = (\frac{4x}{4+x^2})' = 4\frac{(4+x^2) - x*2x}{(4+x^2)^2}$$ приравняем к 0 $$4\frac{4-x^2}{(4+x^2)^2}= 0 => x_{1,2} = \pm 2$$ функция имеет две критические (стационарные) точки с координатами $(-2;-1)$,$(2;1)$

Интервалы монотонности.
Функция имеет две критические точки на интервале области определения $(-\infty; +\infty)$,т.е. две точки возможного экстремума функции. Эти точки делят область определения на три интервала монотонности. Определим монотонность функции на этих интервалах с учетом симмерии относительно начала координат, т.е. на интервале $(0;+\infty)$:
интервал $(0;2)$ найдем значение первой производной в любой точке интервала $f'(1) = \frac{8-2x^2}{(4+x^2)^2}> 0$, на этом интервале функция возрастает.
интервал $( 2; +\infty)$ найдем значение первой производной в любой точке интервала $f'(3) =\frac{8-2x^2}{(4+x^2)^2} < 0$, на этом интервале функция убывает.

Экстремумы функции.

При исследовании функции получили на исследуемом интервале$(0;+\infty)$ одну критическую (стационарную) точку. Определим, является ли она экстремумом. Рассмотрим изменение знака производной при переходе через критическую точку:
точка $x= 2$ производная меняет знак с $\quad + \quad 0 \quad - \quad$ - точка максимума, а координаты точки максимума (2;1).

7.Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.

Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю

$$y'' = (4\frac{4-x^2}{(4+x^2)^2})'= 4\frac{-2x(4+x^2)^2-(4-x^2)*2(4+x^2)*2x}{(4+x^2)^4}=$$ $$=-4\frac{2x(4+x^2)+(4-x^2)*4x}{(4+x^2)^3}= 8x\frac{x^2-12}{(4+x^2)^3}$$ Приравняем к нулю $$8x\frac{x^2-12}{(4+x^2)^3}= 0 =>8x(x^2-12)= 0 => x_1 = 0; \quad x_{2,3}= \pm 2\sqrt{3}$$ Функция имеет три точи перегиба, которые делят область определения на четыре интервала выпуклости, а рассмативаемый интервал$(0;+\infty)$ на два интервала выпуклости:

1) интервал $(0;2\sqrt{3})$ найдем значение второй производной в любой точке $f''(1) =8x\frac{x^2-12}{(4+x^2)^3} < 0$, на этом интервале вторая производная функции отрицательная $f''(x) < 0$ - функция выпуклая вверх (вогнутая).
2) интервал $(2\sqrt{3}; +\infty)$ найдем значение второй производной в любой точке $f''(10) =8x\frac{x^2-12}{(4+x^2)^3} > 0$, на этом интервале вторая производная функции положительная $f''(x) > 0$ - функция выпуклая вниз (выпуклая).

Т.к. функция является симметричной относительго начала координат и эта точка является точкой перегиба, кбедимся в этом в следующем пункте, а для этого найдем выпуклость на интегвале
интервал $(-2\sqrt{3};0)$ найдем значение второй производной в любой точке $f''(-1) =8x\frac{x^2-12}{(4+x^2)^3}> 0$, на этом интервале вторая производная функции положительная $f''(x) > 0$ - функция выпуклая вниз (выпуклая).

Точки перегиба.

В точке $x =0$ вторая производная меняет знак с $\quad + \quad 0 \quad - \quad$, график функции меняет выпуклость, т.е. это точка перегиба с координатами $(0;0)$.
В точке $x =2\sqrt{3}$ вторая производная меняет знак с $\quad - \quad 0 \quad + \quad$, график функции меняет выпуклость, т.е. это точка перегиба с координатами $(2\sqrt{3};\frac{ \sqrt{3}}{2})$.

8. Асимптоты.

Вертикальная асимптота.График функции не имеет вертикальных асимптот, т.к. область определения функции $x \in R$.
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции $у=\frac{4x}{4+x^2}$ при $x \to \infty$ имел наклонную асимптота $y = kx+b$, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела

$$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k$$ находим первый предел   $$\lim_{x \to +\infty} \frac{4x}{(4+x^2)x}  = 0 => k= 0$$ и второй предел $$\lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ т.к. $k = 0$ - наклонной асимптоты нет.

Горизонтальная асимптота:
для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел

$$\lim_{x \to \infty}f(x) = b$$ найдем его $$\lim_{x \to \infty}\frac{4x}{4+x^2} = 0$$
Горизонтальной асимптота $y = 0$

Определим, с какой стороны график приближается к асимптоте

$$\lim_{x \to +\infty}( 0 -\frac{4x}{4+x^2}) = -0$$ График функции приближается к асимптоте сверху при $x \to +\infty$
$$\lim_{x \to -\infty}( 0 -\frac{4x}{4+x^2}) = +0$$ График функции приближается к асимптоте снизу при $x \to -\infty$ 

9. График функции.
При построении графика учтем его нечетность, т.е. симметричность относительно начала координат