Знайти рівняння геометричного місця точок, для кожної з яких відношення відстаней до точки М(9;0)

Рішення :  

Метод відстаней.

Знайдемо геометричній місце точок, що задовольняє заданій умові. Нехай точка з координатами A (x; y) задовольняє цим умовам. 
Відстань від точки  A (x; y) до прямої $x-4 = 0 = > x = 4$ дорівнює $d = | x-4 |$
Відстань від точки  A (x; y) до точки  $M_0 (9; 0)$ дорівнює $d = \sqrt {(x-9)^2 + y^2}$  

Згідно умови задачі, ставлення цих відстаней одно $\frac {3} {2}$, одержуємо $$\frac {\sqrt {(x-9) ^ 2 + y ^ 2}} { | x-4 |} = \frac {3} {2} = >  \frac{ (x-9)^2 + y^2} { ( x-4)^2} = \frac{9}{4} = >$$ $$4 (x-9)^2 + 4y^2  = 9 (x-4)^2 = >$$ $$4x^2  -72x  +  324  + 4y^2 =  9x^2 -72x  +  144 =>$$ $$180  =  5x^2  -4y^2  => \frac{x^2}{36} - \frac{y^2} {45} = 1$$ Отримали рівняння гіперболи. 

Перевірка результатів.

Для перевірки, виберемо будь-яку точку гіперболи і порівняємо відстань від гіперболи до директриси і фокусу. 
Нехай $x = 6 => y = 0$. Отримали точку з координатами $(6; 0)$. 
Відстань від точки до директриси - прямий $x = 4$ одно $d_1 = 6-4 = 2$ . 

Відстань від точки до фокусу  $M_0 (9; 0)$  знайдемо за формулою відстані між точками $d = \sqrt {(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$, одержуємо $d_2 = \sqrt{(9-6)^2 + (0-0)^2} =  3$ 

Знайдемо відношення цих відстаней  $\frac{d_2}{d_1} = \frac{3}{2}$

Побудуємо параболу і переконаємося в правильності рішення.