Задание: Вероятность того, что покупателю требуется обувь 41-го размера, равна 0,2. Найдите вероятность того, что среди 100 покупателей потребуют обувь 41-ого размера 25 человек.
Решение: Если количество независимых испытаний достаточно большое применения формулы Бернулли становится трудоемким. Для упрощения вычислений применяют локальную и интегральную теоремы Лапласа, которые дают близкий к формуле Бернулли результат при большом количестве испытаний и не требуют больших вычислений.
Локальная теорема Лапласа: Вероятность того, что в n независимых испытаниях с вероятностью появления события A равной 0 < P < 1 событие наступит ровно раз k (безразлично в какой последовательности) определяется по приближенной формуле P_n(k) = \frac{1}{\sqrt{npq}} \phi(x)
где
\phi(x) - функция Гаусса
x = \frac{x - np}{ \sqrt{npq}} - аргумент функции Гаусса
Теорему Лапласа рекомендуется применять при значениях произведения npq > 10; , в противном случае погрешность вычисления будет высокая.
В нашем случае
n = 100 - количество испытаний.
p = 0.2 - вероятность того, что покупателю нужна обувь 41-го размера.
q = 1-0.2 =0.8 - вероятность того, что покупателю нужна обувь размера, отличного от 41-го размера.
k = 25 - число появления события, т.е. нужна обувь 41-го размера.
Проверяем npq = 100*0.2*0.8 = 16 > 10 ,
также учтем, что функция Гаусса - четная функция \phi(-x) = \phi(x)
Найдем аргумент функции Гаусса x = \frac{k - np}{ \sqrt{npq}} = \frac{25-100*0.2}{\sqrt{100*0.2*0.8}} = 1.25
Ищем по таблице Гаусса \phi( 1.25) = 0.1826
Вероятность равна P_{100}(25) = \frac{1}{\sqrt{npq}} \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{ 100*0.2*0.8}}*0.1826 \approx 0.04565
Ответ: вероятность того, что из 100 человек 25 потребуют обувь 41-го размера равна равна P_{100}(25) = 0.04565 = 4.565*10^{-2}
Для проверки результата применим формулу Бернулли P_n(k) = C_n^kp^kq^{n-k}
Подставляем данные задачи, получаем
P_{100}(25) = C_{100}^{25}0.2^{25}0.8^{100-25} =
= \frac{100!}{25!75!} 0.2^{25}0.8^{75} \approx 0.04388
Формула Лапласа - формула приближенного вычисления, а Бернулли зависит от алгоритма в ПК, поэтому есть различия в ответе.
