5. Найти объем пирамиды АВСD.
Геометрический смысл смешанного произведения трех векторов - произведение равно объему V_{пар} параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах \vec{a}, \vec{b},\vec{c}. Объем пирамиды будет равен V_{пир} = \frac{1}{6}V_{пар}.
Смешанное произведения трех векторов, которое равно объему параллелепипеда, находится по формуле (\vec{a}\times\vec{b})*\vec{c} = \left|\begin{array}{c} a_x & a_y & a_z\\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z\end{array}\right| нам нужно \frac{1}{6} от этого объема.
Подставим координаты векторов \vec{AB}(1; -2; 2), \vec{AC}(11;2; 10), \vec{AD}(8;4; 8) и вычислим определитель V_{пир} = \pm \frac{1}{6}(\vec{AB}\times\vec{AC})*\vec{AD} = \pm \frac{1}{6} \left|\begin{array}{c}1 & -2 & 2 \\ 11 & 2 & 10 \\ 8 & 4 & 8\end{array}\right| = выносим 4 из третьей строки = \pm \frac{4}{6} \left|\begin{array}{c} 1 & -2 & 2 \\ 11 & 2 & 10 \\ 2 & 1 & 2 \end{array}\right| = для упрощения расчетов вычтем из первой строки третью = \pm \frac{2}{3} \left|\begin{array}{c} -1 & -3 & 0 \\ 11 & 2 & 10 \\ 2 & 1 & 2 \end{array}\right| = и из второй строки третью, умноженную на 5 (результат при этом не изменится) и вынесем (-1) из первой строки = \pm \frac{2}{3} \left|\begin{array}{c} -1 & -3 & 0 \\ 1 & -3 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{array}\right| = вычтем из первой строки вторую = \pm \frac{2}{3} \left|\begin{array}{c} -2 &0 & 0 \\ 1 & -3 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{array}\right| = разложим определитель по первой строке (фактически по члену первому члену, т.к. два других равны 0) = \pm \frac{2}{3}*(-2)\left|\begin{array}{c} -3 & 0 \\ 1 & 2 \end{array}\right| = \pm \frac{2}{3}*(-2)(-6) = 8 ед^3 Знак \pm означает, что объем это положительное число.
Ответ: объем треугольной пирамиды равен V_{пир} = 8 ед^3.