Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/Latin1Supplement.js
Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Даны координаты вершин пирамиды ABCD


1 Vote
Maximka Dominikov
Posted Октябрь 22, 2015 by Maximka Dominikov
Категория: Аналитическая геометрия
Всего просмотров: 42295

Даны координаты вершин пирамиды ABCD


Требуется:
1) Записать векторы АВ, АС и АD в системе орт  i , j , k  и найти модули этих векторов;
2) найти угол между векторами АВ и АС;
3) найти проекцию вектора АD на вектор АС; 
4) найти площадь  грани АВС;
5) найти объем пирамиды АВСD. 


Где A(-4;5;-5), B(3;3;-3), C(7;7;5), D(4;9;3)

Теги: векторы в пространстве, метод координат, сумма векторов, скалярное произведение векторов

Все ответы


2 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Октябрь 25, 2015 by Вячеслав Моргун

1. Записать векторы \vec{АВ}, \vec{АС} и \vec{АD} в системе орт  i , j , k  и найти модули этих векторов;
Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости.
Вектор - это направленный отрезок, имеющий начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:  \vec{a}(x_a ; y_a ; z_a ) 
Координаты вектора находятся— из координаты конца вычитаем координату начала \vec{a} =  \vec{AB}(x_B − x_A ; y_B − y_A ; z_B − z_A )
Найдем вектора:
\vec{AB}(-3-(-4); 3-5;-3-(-5)) => \vec{AB}(1; -2; 2) 
\vec{AC}(7-(-4); 7-5; 5-(-5)) => \vec{AC}(11;2; 10)  
\vec{AD}(4-(-4); 9-5; 3-(-5)) => \vec{AD}(8;4; 8)   


Длина вектора |\vec{a}| = \vec{AB} в пространстве (модуль вектора) –– это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора: |\vec{a}| = \sqrt{x^2_a + y^2_a + z^2_a} = \sqrt{ (x_B − x_A )^2 + (y_B − y_A )^2 + (z_B − z_A )^2}
Найдем длины (модули) векторов:
  |\vec{AB}| =  \sqrt{1^2+(-2)^2+2^2} = 3 
  |\vec{AC}| = \sqrt{11^2+2^2+10^2} = 15   
  |\vec{AD}| = \sqrt{8^2+4^2+8^2} = 12  


1 Vote
Вячеслав Морг
Posted Октябрь 25, 2015 by Вячеслав Моргун

2. найти угол между векторами  \vec{АВ}, \vec{АС};


Для решения задачи воспользуемся формулой скалярного произведения векторов:
Скалярное произведение векторов: \vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a}| \cdot | \vec{b}| \cdot \cos(\phi) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b \quad (1)
Косинус угла между векторами выразим из этой формулы, получим: \cos(\phi) = \frac{ \vec{a} \cdot \vec{b}}{ |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}= \frac{x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b}{ \sqrt{x^2_a + y^2_a + z^2_a } \cdot\sqrt{x^2_b + y^2_b + z^2_b}} \quad (2)
Подставляем координаты векторов  \vec{AB}(1; -2; 2) и   \vec{AC}(11;2; 10) в формулу (2), получаем  \cos(\phi) = \frac{1*11+(-2)*2+2*10}{3*15} = \frac{3}{5} => \phi \approx 53^0 


1 Vote
Вячеслав Морг
Posted Октябрь 25, 2015 by Вячеслав Моргун

3. Найти проекцию вектора \vec{AD} на вектор  \vec{AC};
Для решения задачи воспользуемся формулой скалярного произведения векторов:
Скалярное произведение векторов: \vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a}| \cdot | \vec{b}| \cdot \cos(\phi) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b \quad (1)
Рассмотрим в этой формуле произведение:
Пр_ab =  | \vec{b}| \cdot \cos(\phi) =  \frac{ \vec{a} \cdot \vec{b}}{ |\vec{a}|} - проекция вектора \vec{b} на вектор \vec{a}
 Пр_ba =  | \vec{a}| \cdot \cos(\phi)  = \frac{ \vec{a} \cdot \vec{b}}{ |\vec{b}|} - проекция вектора \vec{a} на вектор \vec{b} 


Подставляем данные задачи и находим проекцию вектора \vec{AD} на вектор \vec{AC}
Пр_{\vec{AC}}\vec{AD}= \frac{ \vec{AD} \cdot \vec{AC}}{ |\vec{AC}|} =>
Пр_{\vec{AC}}\vec{AD}= \frac{ 11*8+2*4+10*8}{ 15} \approx 11.73


1 Vote
Вячеслав Морг
Posted Октябрь 25, 2015 by Вячеслав Моргун

4. Найти площадь грани АВС;


Для решения задачи воспользуемся формулой векторного произведения векторов


Векторное произведение двух векторов \vec{a} = (a_x; a_y; a_z) и \vec{b} = (b_x; b_y; b_z) в декартовой системе координат - это вектор, значение которого можно вычислить, используя следующие формулы: \vec{a}\times\vec{b} = \left|\begin{array}{c} i & j & k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{array}\right| = i(a_yb_z - a_zb_y) - j(a_xb_z - a_zb_x) + k(a_xb_y-a_yb_x) =>\vec{a}\times\vec{b} = (a_yb_z - a_zb_y;  a_zb_x  - a_xb_z; a_xb_y-a_yb_x)


Геометрическое свойство векторного произведения: модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.


таким образом площадь треугольника будет равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах \vec{AB}(1; -2; 2) и   \vec{AC}(11;2; 10) S_{ΔABC} = \frac{1}{2}| \vec{AB}\times\vec{AC}| => найдем векторное произведение  \vec{AB}\times\vec{AC} = (-2*10-2*2; 2*11 -1*10; 1*2+2*11 ) = (-24; 12; 24 )  , тогда получаем площадь искомой грани S_{ΔABC} = \frac{1}{2} \sqrt{(-24)^2+12^2+24^2} = 18


1 Vote
Вячеслав Морг
Posted Октябрь 25, 2015 by Вячеслав Моргун

5. Найти объем пирамиды АВСD.


Геометрический смысл смешанного произведения трех векторов - произведение равно объему V_{пар} параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах \vec{a}, \vec{b},\vec{c}. Объем пирамиды будет равен V_{пир} = \frac{1}{6}V_{пар}.


Смешанное произведения трех векторов, которое равно объему параллелепипеда, находится по формуле (\vec{a}\times\vec{b})*\vec{c} = \left|\begin{array}{c} a_x & a_y & a_z\\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z\end{array}\right| нам нужно \frac{1}{6} от этого объема.


Подставим координаты векторов \vec{AB}(1; -2; 2),  \vec{AC}(11;2; 10),  \vec{AD}(8;4; 8) и вычислим определитель  V_{пир} = \pm \frac{1}{6}(\vec{AB}\times\vec{AC})*\vec{AD} = \pm \frac{1}{6} \left|\begin{array}{c}1 & -2 & 2 \\ 11 & 2 & 10 \\ 8 & 4 & 8\end{array}\right| = выносим 4 из третьей строки =  \pm \frac{4}{6} \left|\begin{array}{c} 1 & -2 & 2 \\ 11 & 2 & 10 \\ 2 & 1 & 2 \end{array}\right|   = для упрощения расчетов вычтем из первой строки третью  =  \pm \frac{2}{3} \left|\begin{array}{c} -1 & -3 & 0 \\ 11 & 2 & 10 \\ 2 & 1 & 2 \end{array}\right|   = и из второй строки третью, умноженную на 5 (результат при этом не изменится) и вынесем (-1) из первой строки  =  \pm \frac{2}{3} \left|\begin{array}{c} -1 & -3 & 0 \\ 1 & -3 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{array}\right|   = вычтем из первой строки вторую  =  \pm \frac{2}{3} \left|\begin{array}{c} -2 &0 & 0 \\ 1 & -3 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{array}\right|   = разложим определитель по первой строке (фактически по члену первому члену, т.к. два других равны 0) = \pm \frac{2}{3}*(-2)\left|\begin{array}{c}  -3 & 0 \\ 1 & 2 \end{array}\right| = \pm \frac{2}{3}*(-2)(-6) = 8 ед^3 Знак \pm означает, что объем это положительное число.


Ответ: объем треугольной пирамиды равен V_{пир} =  8 ед^3.