Даны координаты вершин пирамиды ABCD

1. Записать векторы \(\vec{АВ}\), \(\vec{АС}\) и \(\vec{АD}\) в системе орт  \(i , j , k\)  и найти модули этих векторов;
Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости.
Вектор - это направленный отрезок, имеющий начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z: \( \vec{a}(x_a ; y_a ; z_a )\) 
Координаты вектора находятся— из координаты конца вычитаем координату начала \( \vec{a} =  \vec{AB}(x_B − x_A ; y_B − y_A ; z_B − z_A )\)
Найдем вектора:
\(\vec{AB}(-3-(-4); 3-5;-3-(-5)) => \vec{AB}(1; -2; 2)\) 
\(\vec{AC}(7-(-4); 7-5; 5-(-5)) => \vec{AC}(11;2; 10)\)  
\(\vec{AD}(4-(-4); 9-5; 3-(-5)) => \vec{AD}(8;4; 8)\)   

Длина вектора \( |\vec{a}| = \vec{AB}\) в пространстве (модуль вектора) –– это расстояние между точками \(A\) и \(B\). Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора: $$ |\vec{a}| = \sqrt{x^2_a + y^2_a + z^2_a} = \sqrt{ (x_B − x_A )^2 + (y_B − y_A )^2 + (z_B − z_A )^2}$$
Найдем длины (модули) векторов:
 \( |\vec{AB}| =  \sqrt{1^2+(-2)^2+2^2} = 3\) 
 \( |\vec{AC}| = \sqrt{11^2+2^2+10^2} = 15\)   
 \( |\vec{AD}| = \sqrt{8^2+4^2+8^2} = 12\)  

2. найти угол между векторами  \(\vec{АВ}\), \(\vec{АС}\);

Для решения задачи воспользуемся формулой скалярного произведения векторов:
Скалярное произведение векторов: $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a}| \cdot | \vec{b}| \cdot \cos(\phi) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b \quad (1)$$
Косинус угла между векторами выразим из этой формулы, получим: $$ \cos(\phi) = \frac{ \vec{a} \cdot \vec{b}}{ |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}= \frac{x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b}{ \sqrt{x^2_a + y^2_a + z^2_a } \cdot\sqrt{x^2_b + y^2_b + z^2_b}} \quad (2)$$
Подставляем координаты векторов \( \vec{AB}(1; -2; 2)\) и  \( \vec{AC}(11;2; 10)\) в формулу (2), получаем $$ \cos(\phi) = \frac{1*11+(-2)*2+2*10}{3*15} = \frac{3}{5} => \phi \approx 53^0$$ 

3. Найти проекцию вектора \( \vec{AD}\) на вектор \( \vec{AC}\);
Для решения задачи воспользуемся формулой скалярного произведения векторов:
Скалярное произведение векторов: $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a}| \cdot | \vec{b}| \cdot \cos(\phi) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b \quad (1)$$
Рассмотрим в этой формуле произведение:
\( Пр_ab =  | \vec{b}| \cdot \cos(\phi) =  \frac{ \vec{a} \cdot \vec{b}}{ |\vec{a}|}\) - проекция вектора \(\vec{b}\) на вектор \(\vec{a}\)
\( Пр_ba =  | \vec{a}| \cdot \cos(\phi)  = \frac{ \vec{a} \cdot \vec{b}}{ |\vec{b}|}\) - проекция вектора \(\vec{a}\) на вектор \(\vec{b}\) 

Подставляем данные задачи и находим проекцию вектора \( \vec{AD}\) на вектор \( \vec{AC}\)
$$ Пр_{\vec{AC}}\vec{AD}= \frac{ \vec{AD} \cdot \vec{AC}}{ |\vec{AC}|} =>$$
$$ Пр_{\vec{AC}}\vec{AD}= \frac{ 11*8+2*4+10*8}{ 15} \approx 11.73$$

4. Найти площадь грани АВС;

Для решения задачи воспользуемся формулой векторного произведения векторов

Векторное произведение двух векторов \(\vec{a} = (a_x; a_y; a_z)\) и \(\vec{b} = (b_x; b_y; b_z)\) в декартовой системе координат - это вектор, значение которого можно вычислить, используя следующие формулы: $$\vec{a}\times\vec{b} = \left|\begin{array}{c} i & j & k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{array}\right| = i(a_yb_z - a_zb_y) - j(a_xb_z - a_zb_x) + k(a_xb_y-a_yb_x) =>$$$$\vec{a}\times\vec{b} = (a_yb_z - a_zb_y;  a_zb_x  - a_xb_z; a_xb_y-a_yb_x)$$

Геометрическое свойство векторного произведения: модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

таким образом площадь треугольника будет равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах \(\vec{AB}(1; -2; 2)\) и  \( \vec{AC}(11;2; 10)\) $$S_{ΔABC} = \frac{1}{2}| \vec{AB}\times\vec{AC}| =>$$ найдем векторное произведение \( \vec{AB}\times\vec{AC} = (-2*10-2*2; 2*11 -1*10; 1*2+2*11 ) = (-24; 12; 24 )  \), тогда получаем площадь искомой грани $$S_{ΔABC} = \frac{1}{2} \sqrt{(-24)^2+12^2+24^2} = 18$$

5. Найти объем пирамиды АВСD.

Геометрический смысл смешанного произведения трех векторов - произведение равно объему \(V_{пар}\) параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах \(\vec{a}, \vec{b},\vec{c}\). Объем пирамиды будет равен \(V_{пир} = \frac{1}{6}V_{пар}\).

Смешанное произведения трех векторов, которое равно объему параллелепипеда, находится по формуле $$(\vec{a}\times\vec{b})*\vec{c} = \left|\begin{array}{c} a_x & a_y & a_z\\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z\end{array}\right|$$ нам нужно \(\frac{1}{6}\) от этого объема.

Подставим координаты векторов \(\vec{AB}(1; -2; 2)\), \( \vec{AC}(11;2; 10)\), \( \vec{AD}(8;4; 8)\) и вычислим определитель  $$V_{пир} = \pm \frac{1}{6}(\vec{AB}\times\vec{AC})*\vec{AD} = $$$$ \pm \frac{1}{6} \left|\begin{array}{c}1 & -2 & 2 \\ 11 & 2 & 10 \\ 8 & 4 & 8\end{array}\right| = $$ выносим \(4\) из третьей строки $$ =  \pm \frac{4}{6} \left|\begin{array}{c} 1 & -2 & 2 \\ 11 & 2 & 10 \\ 2 & 1 & 2 \end{array}\right|   =$$ для упрощения расчетов вычтем из первой строки третью $$ =  \pm \frac{2}{3} \left|\begin{array}{c} -1 & -3 & 0 \\ 11 & 2 & 10 \\ 2 & 1 & 2 \end{array}\right|   =$$ и из второй строки третью, умноженную на 5 (результат при этом не изменится) и вынесем (-1) из первой строки $$ =  \pm \frac{2}{3} \left|\begin{array}{c} -1 & -3 & 0 \\ 1 & -3 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{array}\right|   =$$ вычтем из первой строки вторую $$ =  \pm \frac{2}{3} \left|\begin{array}{c} -2 &0 & 0 \\ 1 & -3 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{array}\right|   =$$ разложим определитель по первой строке (фактически по члену первому члену, т.к. два других равны 0) $$ = \pm \frac{2}{3}*(-2)\left|\begin{array}{c}  -3 & 0 \\ 1 & 2 \end{array}\right| = \pm \frac{2}{3}*(-2)(-6) = 8 ед^3$$ Знак \(\pm\) означает, что объем это положительное число.

Ответ: объем треугольной пирамиды равен \(V_{пир} =  8 ед^3\).