Найдем предел: $$ \lim_{x \to 3} (10-3x)^{\frac{1}{x-3}} $$
Решение:
Найдем предел $$ \lim_{x \to 3} (10-3x)^{\frac{1}{x-3}} = (10-3*3)^{\frac{1}{3-3}} = 1^{\infty}$$ получили неопределенность вида \(1^{\infty}\). Данную неопределенность можно разрешать применяя метод Лопиталя и приведения к форме второго замечательного предела .
Рассмотрим оба метода:
1. Правило Лопиталя:
Проведем преобразования $$ \lim_{x \to 3} (10-3x)^{\frac{1}{x-3}} = e^{\lim_{x \to 3} \ln (10-3x)^{\frac{1}{x-3}}} = $$$$ = e^{\lim_{x \to 3} \frac{1}{x-3} \ln (10-3x)} = \quad (1)$$ Найдем отдельно предел $$ \lim_{x \to 3} \frac{1}{x-3} \ln (10-3x) = \frac{0}{0} $$
Правило Лопиталя $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$
Применяем правило Лопиталя $$ \lim_{x \to 3} \frac{1}{x-3} \ln (10-3x) = \lim_{x \to 3} \frac{(\ln (10-3x))'}{(x-3)'} =$$$$ = \lim_{x \to 3} \frac{ \frac{-3}{10-3x}}{1} = \frac{-3}{10-3*3} = -3$$Подставляем ответ в (1)
$$ = e^{\lim_{x \to 3} \frac{1}{x-3} \ln (10-3x)} = e^{-3} = \frac{1}{e^3}$$
Ответ: \( \lim_{x \to 3} (10-3x)^{\frac{1}{x-3}} =\frac{1}{e^3} \)
2. Метод приведения к форме второго замечательного предела
Запишем второй замечательный предел $$\lim_{x \to 0}(1+ f(x))^\frac{1}{f(x)} = e$$
Проведем преобразования:
$$ \lim_{x \to 3} (10-3x)^{\frac{1}{x-3}} = \lim_{x \to 3}(1 + (9-3x))^{\frac{1}{x-3}} = \quad (2)$$ Получили \(f(x) = 9-3x\), теперь в степени мы должны получить дробь вида \( \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{9-3x}\), преобразуем степень \( \frac{1}{x-3}\) путем умножения на дробь \( \frac{-3}{-3} \)
$$\frac{1}{x-3}*\frac{-3}{-3} = \frac{1}{9-3x}*(-3)$$ подставляем (2) $$ = \lim_{x \to 3}(1 + (9-3x))^{\frac{1}{9-3x}*(-3)} = \lim_{x \to 3}((1 + (9-3x))^{\frac{1}{9-3x}})^{-3} = $$$$ = (\lim_{x \to 3}(1 + (9-3x))^{\frac{1}{9-3x}})^{-3} = $$ получили второй замечательный предел \( \lim_{x \to 3}(1 + (9-3x))^{\frac{1}{9-3x}}= e\), подставляем $$ = (\lim_{x \to 3}(1 + (9-3x))^{\frac{1}{9-3x}})^{-3}= e^{-3} $$
Ответ: \( \lim_{x \to 3} (10-3x)^{\frac{1}{x-3}} =\frac{1}{e^3} \)
