Найдем предел: \lim_{x \to 0} \frac{x(1-\cos(x))}{tg^3(5x)}
Решение:
Найдем предел \lim_{x \to 0} \frac{x(1-\cos(x))}{tg^{3}(5x)} = \frac{0*(1-1)}{tg^{3}(5*0)} = \frac{0}{0} получили неопределенность вида \frac{0}{0}.
Данную неопределенность можно разрешать применяя метод Лопиталя и приведения к форме первого замечательного предела .
Правило Лопиталя \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}
Первый замечательный предел \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \quad (2)
1. Проведем упрощения предела, применим формулу первого замечательного предела. \lim_{x \to 0} \frac{x(1-\cos(x))}{tg^{3}(5x)} = \lim_{x \to 0} \frac{(5x)^3}{ \sin^3(5x)}\frac{ 1-\cos(x)}{5^3x^2 \frac{1}{\cos^3(5x)}} = предел дроби \lim_{x \to 0} \frac{(5x)^3}{ \sin^3(5x)} = 1 (первый замечательный предел) = \lim_{x \to 0} \frac{(5x)^3}{ \sin^3(5x)} \lim_{x \to 0} \frac{ 1-\cos(x)}{5^3x^2 \frac{1}{\cos^3(5x)}} = \frac{1}{125}\lim_{x \to 0} \frac{ 1-\cos(x)}{x^2}\cos^3(5x) =
Находим предел =\frac{1}{125} \frac{ 1-1}{0^2}*1 = \frac{0}{0} получили неопределенность вида \frac{0}{0}, продолжаем разрешать ее.
2. Применим правило Лопиталя: = \frac{1}{125}\lim_{x \to 0} \frac{ ((1-\cos(x))\cos^3(5x))'}{(x^2)'} = = \frac{1}{125}\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)\cos^3(5x) + (1-\cos(x))*3\cos^2(5x))*(-\sin(5x))*5}{2x} = = \frac{1}{125}[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)\cos^3(5x)}{2x} + + \lim_{x \to 0}\frac{(1-\cos(x))*3\cos^2(5x))*(-\sin(5x))*5}{2x}] = \quad (3) Проанализируем каждый предел:
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)\cos^3(5x)}{2x} = в пределе есть дробь \frac{\sin(x)}{x}, поэтому применим формулу первого замечательного предела
= \lim_{x \to 0} \frac{ \sin(x)}{x}\frac{\cos^3(5x)}{2} = 1*\frac{1}{2} = \frac{1}{2}
\lim_{x \to 0}\frac{(1-\cos(x))*3\cos^2(5x))*(-\sin(5x))*5}{2x}] = в пределе есть дрожь \frac{\sin(x)}{x}, поэтому применим формулу первого замечательного предела
= -\lim_{x \to 0}\frac{(1-\cos(x))*3\cos^2(5x))}{2}* 5 \frac{\sin(5x))}{5x}*5 = -\lim_{x \to 0}\frac{(1-1)*3*1}{2}* 5 *1*5 = 0
Подставляем результаты в (3)
= \frac{1}{125}[ \frac{1}{2} + 0] = \frac{1}{250}
Ответ \lim_{x \to 0} \frac{x(1-\cos(x))}{tg^3(5x)} = \frac{1}{250}
