Найдем предел: $$ \lim_{x \to 0} \frac{x(1-\cos(x))}{tg^3(5x)} $$
Решение:
Найдем предел $$ \lim_{x \to 0} \frac{x(1-\cos(x))}{tg^{3}(5x)} = \frac{0*(1-1)}{tg^{3}(5*0)} = \frac{0}{0}$$ получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\).
Данную неопределенность можно разрешать применяя метод Лопиталя и приведения к форме первого замечательного предела .
Правило Лопиталя $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$
Первый замечательный предел $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \quad (2)$$
1. Проведем упрощения предела, применим формулу первого замечательного предела. $$ \lim_{x \to 0} \frac{x(1-\cos(x))}{tg^{3}(5x)} = \lim_{x \to 0} \frac{(5x)^3}{ \sin^3(5x)}\frac{ 1-\cos(x)}{5^3x^2 \frac{1}{\cos^3(5x)}} =$$ предел дроби \( \lim_{x \to 0} \frac{(5x)^3}{ \sin^3(5x)} = 1\) (первый замечательный предел) $$ = \lim_{x \to 0} \frac{(5x)^3}{ \sin^3(5x)} \lim_{x \to 0} \frac{ 1-\cos(x)}{5^3x^2 \frac{1}{\cos^3(5x)}} = \frac{1}{125}\lim_{x \to 0} \frac{ 1-\cos(x)}{x^2}\cos^3(5x) = $$
Находим предел $$ =\frac{1}{125} \frac{ 1-1}{0^2}*1 = \frac{0}{0}$$ получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\), продолжаем разрешать ее.
2. Применим правило Лопиталя: $$ = \frac{1}{125}\lim_{x \to 0} \frac{ ((1-\cos(x))\cos^3(5x))'}{(x^2)'} = $$$$ = \frac{1}{125}\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)\cos^3(5x) + (1-\cos(x))*3\cos^2(5x))*(-\sin(5x))*5}{2x} =$$$$ = \frac{1}{125}[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)\cos^3(5x)}{2x} + $$$$ + \lim_{x \to 0}\frac{(1-\cos(x))*3\cos^2(5x))*(-\sin(5x))*5}{2x}] = \quad (3)$$ Проанализируем каждый предел:
\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)\cos^3(5x)}{2x} =\) в пределе есть дробь \( \frac{\sin(x)}{x}\), поэтому применим формулу первого замечательного предела
\( = \lim_{x \to 0} \frac{ \sin(x)}{x}\frac{\cos^3(5x)}{2} = 1*\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)
\( \lim_{x \to 0}\frac{(1-\cos(x))*3\cos^2(5x))*(-\sin(5x))*5}{2x}] = \) в пределе есть дрожь \( \frac{\sin(x)}{x}\), поэтому применим формулу первого замечательного предела
\( = -\lim_{x \to 0}\frac{(1-\cos(x))*3\cos^2(5x))}{2}* 5 \frac{\sin(5x))}{5x}*5 = -\lim_{x \to 0}\frac{(1-1)*3*1}{2}* 5 *1*5 = 0\)
Подставляем результаты в (3)
$$ = \frac{1}{125}[ \frac{1}{2} + 0] = \frac{1}{250}$$
Ответ\( \lim_{x \to 0} \frac{x(1-\cos(x))}{tg^3(5x)} = \frac{1}{250} \)
