Найдем производную функции$$y = \sqrt{1-x^2} + \ln\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{1+\sqrt{1+x^2}}$$будем использовать формулу производной сложной функции:
пусть функция \(y = f(x), x = g(t)\) - дифференцируемые функции, тогда сложная функция \(y = f[g(t)]\) дифференцируемая функция, причем для ее производной справедлива формула $$f'(g(t)) = f'(x)*g'(t) = f'[g(t)]*g'(t)$$Приступаем к решению. Перед тем как находить производную рекомендуется упростить функцию. $$y = \sqrt{1-x^2} + \ln\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{1+\sqrt{1+x^2}} = \sqrt{1-x^2} + \ln(1-\sqrt{1-x^2}) - \ln(1+\sqrt{1+x^2}) $$формула, вроде бы, стала проще для поиска производной. Ищем производную $$y' =(\sqrt{1-x^2} + \ln(1-\sqrt{1-x^2}) - \ln(1+\sqrt{1+x^2}))' = $$применяем формулу производной суммы двух функций$$=(\sqrt{1-x^2})' +( \ln(1-\sqrt{1-x^2}))' - (\ln(1+\sqrt{1+x^2}))' = $$применяем формулу производной сложной функции, формулу производной логарифма, производной степенной функции$$=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}(1-x^2)' + \frac{1}{1-\sqrt{1-x^2}}(1-\sqrt{1-x^2})' - \frac{1}{1+\sqrt{1+x^2}}(1+\sqrt{1+x^2})' = $$далее проводим операции с дробями$$=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}(-2x) + \frac{1}{1-\sqrt{1-x^2}}(-\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})(-2x) - \frac{1}{1+\sqrt{1+x^2}}(\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}})2x = $$$$=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{x}{(1-\sqrt{1-x^2})\sqrt{1-x^2}} - \frac{x}{(1+\sqrt{1+x^2})\sqrt{1+x^2}} = $$$$=-x(\frac{1-\sqrt{1-x^2} - 1}{\sqrt{1-x^2}*(1-\sqrt{1-x^2})} + \frac{1}{(1+\sqrt{1+x^2})\sqrt{1+x^2}}) =$$$$=-x(\frac{-1}{1-\sqrt{1-x^2}} + \frac{1}{(1+\sqrt{1+x^2})\sqrt{1+x^2}}) =$$$$=-x\frac{1-\sqrt{1-x^2} - (1+\sqrt{1+x^2})\sqrt{1+x^2}}{(1-\sqrt{1-x^2})*(1+\sqrt{1+x^2})\sqrt{1+x^2}} =$$$$=-x\frac{1-\sqrt{1-x^2} - (1+\sqrt{1+x^2})\sqrt{1+x^2}}{(1-\sqrt{1-x^2})*(1+\sqrt{1+x^2})\sqrt{1+x^2}} = $$$$=x\frac{\sqrt{1-x^2} + \sqrt{1+x^2} + x^2}{(1-\sqrt{1-x^2})*(1+\sqrt{1+x^2})\sqrt{1+x^2}}$$Ответ: производная функции $$y' = (\sqrt{1-x^2} + \ln\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{1+\sqrt{1+x^2}})' = x\frac{\sqrt{1-x^2} + \sqrt{1+x^2} + x^2}{(1-\sqrt{1-x^2})*(1+\sqrt{1+x^2})\sqrt{1+x^2}}$$
