Вероятность того,что произвольная деталь из данной партии подойдет к собираемому узлу, равна 0,85

Задача:  Вероятность того,что произвольная деталь из данной партии подойдет к собираемому узлу, равна 0,85 .с помощью формул Лапласа найти вероятность того, что при сборке 200 узлов нестандартными окажутся от 35 до 45 деталей.
Решение: Если количество $n$ испытаний Бернулли велико, а $npq \geq 10$ (т.е. вероятность $p$ появления события $A$ в каждом испытании не слишком мала), применяются приближения формулы Бернулли:

Интегральная теорема Муавра – Лапласа.
Вероятность того, что в $n$ независимых испытаниях ( n >> 1) событие $A$&nbsp произойдет от $k_1$ до $k_2$ раз, приближенно можно найти по формуле

$$P(k_1 \leq x \leq k_2) = \Phi(\frac{ k_2-np}{\sqrt{npq}})- \Phi(\frac{ k_1-np}{\sqrt{npq}}) \quad (1)$$ где $p$ - вероятность успеха в каждом испытании, 
 $q = 1 - p$ - вероятность не успеха в каждом испытании,  
$\Phi(x)$ - Функция Лапласа.

Локальная и интегральная теоремы Муавра – Лапласа обеспечивают приемлемую точность, если вероятность $p$ каждого успеха удовлетворяет ограничениям: $p > \frac{1}{n+1}$ или $p < \frac{n}{n+1}$ , т.е. $p$ не слишком мала и не близка к единице.

Применяем интегральную теорему Муавра – Лапласа:

$k_1 = 35$
$k_2 = 45$
$p =0.15$
$n=200$ 

$$P_{200}(35,45) = \Phi(\frac{ 45-200*0.15}{\sqrt{200*0.15*0.85}})- \Phi(\frac{ 35-200*0.15}{\sqrt{200*0.15*0.85}}) =$$ $$= \Phi(2.97)- \Phi(0.99) = 0.49851 - 0.3389 = 0.15961$$  
Ответ: вероятность того, что при сборке 200 узлов нестандартными окажутся от 35 до 45 деталей равна   $P_{200}(35,45)  = 0.15961$