Найдем предел функции $$ \lim_{x \to +0}(\frac{ \sin(2x)}{2x})^{\frac{1}{x}} $$
Найдем предел функции в точке \(x = 0\) $$ \lim_{x \to +0}(\frac{ \sin(2x)}{2x})^{\frac{1}{x}}= (\frac{0}{0})^{\infty}$$ получили неопределенность вида \( (\frac{0}{0})^{\infty} \). Эту неопределенность можно разрешить применим правило Лопиталя:
Применяем правило Лопиталя,
Запишем правило Лопиталя $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$
Проведем преобразования $$ \lim_{x \to +0}(\frac{ \sin(2x)}{2x})^{\frac{1}{x}} = e^{\lim_{x \to +0}{\frac{1}{x}}\ln(\frac{ \sin(2x)}{2x})} = \quad (1) $$
Найдем предел $$ \lim_{x \to +0} \frac{\ln(\frac{ \sin(2x)}{2x}) }{x} = \frac{ \ln(1)}{0} = \frac{0}{0}$$ Получили неопределенность вида \( \frac{0}{0}\). При нахождении предела был применен первый замечательный предел \( \lim_{x \to 0} \frac{ \sin(x)}{x} = 1\)
Применяем правило Лопиталя $$ \lim_{x \to +0} \frac{\ln(\frac{ \sin(2x)}{2x}) }{x} = \lim_{x \to +0} \frac{ (\ln(\frac{ \sin(2x)}{2x}))' }{(x)'} = $$$$ = \lim_{x \to +0} \frac{2x}{\sin(2x)}*\frac{2\cos(2x)*2x - 2*\sin(2x)}{4x^2} = $$$$ = \lim_{x \to +0} \frac{2\cos(2x)*x - \sin(2x)}{x\sin(2x)} = \frac{0}{0}$$
Повторно применим правило Лопиталя $$\lim_{x \to +0} \frac{2\cos(2x)*x - \sin(2x)}{x\sin(2x)} = \lim_{x \to +0} \frac{(2\cos(2x)*x - \sin(2x))'}{(x\sin(2x))'} = $$
$$ = \lim_{x \to +0} \frac{-4x\sin(2x)+2\cos(2x)-2\cos(2x)}{ \sin(2x) + 2x\cos(2x)} = $$
$$ = \lim_{x \to +0} \frac{-4x\sin(2x)}{ \sin(2x) + 2x\cos(2x)} = \frac{0}{0}$$
Повторно применим правило Лопиталя
$$ = -\lim_{x \to +0} \frac{(4x\sin(2x))'}{ (\sin(2x) + 2x\cos(2x))'} = $$$$ = \lim_{x \to +0} \frac{4(2x\cos(2x)+\sin(2x))}{ 2\cos(2x) + 2\cos(2x) - 4x\sin(2x)} = \frac{0}{4} = 0$$
Подставляем результата в (1)
$$ \lim_{x \to +0}(\frac{ \sin(2x)}{2x})^{\frac{1}{x}} = e^{ 0} = 1 $$
Ответ: $$ \lim_{x \to +0}(\frac{ \sin(2x)}{2x})^{\frac{1}{x}} = 1$$
