Найти предел функции $$\lim_{x \to +0}(\frac{ \sin(2x)}{2x})^{\frac{1}{x}}$$

Найдем предел функции $$\lim_{x \to +0}(\frac{ \sin(2x)}{2x})^{\frac{1}{x}}$$
Найдем предел функции в точке $x = 0$ $$\lim_{x \to +0}(\frac{ \sin(2x)}{2x})^{\frac{1}{x}}= (\frac{0}{0})^{\infty}$$ получили неопределенность вида $(\frac{0}{0})^{\infty}$. Эту неопределенность можно разрешить применим правило Лопиталя:

Применяем правило Лопиталя,
Запишем правило Лопиталя $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$
Проведем преобразования  $$\lim_{x \to +0}(\frac{ \sin(2x)}{2x})^{\frac{1}{x}} = e^{\lim_{x \to +0}{\frac{1}{x}}\ln(\frac{ \sin(2x)}{2x})} = \quad (1)$$  
Найдем предел   $$\lim_{x \to +0} \frac{\ln(\frac{ \sin(2x)}{2x}) }{x} = \frac{ \ln(1)}{0} = \frac{0}{0}$$ Получили неопределенность вида $\frac{0}{0}$. При нахождении предела был применен первый замечательный предел $\lim_{x \to 0} \frac{ \sin(x)}{x} = 1$
Применяем правило Лопиталя $$\lim_{x \to +0} \frac{\ln(\frac{ \sin(2x)}{2x}) }{x} = \lim_{x \to +0} \frac{ (\ln(\frac{ \sin(2x)}{2x}))' }{(x)'} =$$ $$= \lim_{x \to +0} \frac{2x}{\sin(2x)}*\frac{2\cos(2x)*2x - 2*\sin(2x)}{4x^2} =$$ $$= \lim_{x \to +0} \frac{2\cos(2x)*x - \sin(2x)}{x\sin(2x)} = \frac{0}{0}$$  
Повторно применим правило Лопиталя $$\lim_{x \to +0} \frac{2\cos(2x)*x - \sin(2x)}{x\sin(2x)} = \lim_{x \to +0} \frac{(2\cos(2x)*x - \sin(2x))'}{(x\sin(2x))'} =$$
$$= \lim_{x \to +0} \frac{-4x\sin(2x)+2\cos(2x)-2\cos(2x)}{ \sin(2x) + 2x\cos(2x)} =$$  
$$= \lim_{x \to +0} \frac{-4x\sin(2x)}{ \sin(2x) + 2x\cos(2x)} = \frac{0}{0}$$   
Повторно применим правило Лопиталя 
$$= -\lim_{x \to +0} \frac{(4x\sin(2x))'}{ (\sin(2x) + 2x\cos(2x))'} =$$ $$= \lim_{x \to +0} \frac{4(2x\cos(2x)+\sin(2x))}{ 2\cos(2x) + 2\cos(2x) - 4x\sin(2x)} =   \frac{0}{4} = 0$$  
Подставляем результата в (1) 
$$\lim_{x \to +0}(\frac{ \sin(2x)}{2x})^{\frac{1}{x}} = e^{ 0} = 1$$  
Ответ: $$\lim_{x \to +0}(\frac{ \sin(2x)}{2x})^{\frac{1}{x}} = 1$$