Найдем предел $$\lim_{x \to 4}\frac{x^2-5x+4}{\sqrt{x} - 2e^{4-x}} = \frac{4^2-5*4+4}{\sqrt{4} - 2e^{4-4}} = \frac{0}{0}$$получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Для раскрытия неопределенности вида \(\frac{0}{0}\), \(\frac{\infty}{\infty}\) применяется правило Лопиталя.
Суть правила:
1. если предел \(\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}\) или \(\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\infty}{\infty}\)
2. \(f(x),g(x)\) определены и дифференцируемы в проколотой окрестности точки \(a\)
3. производная \(g'(x) \ne 0\)
4. существует предел \(\lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)
тогда существует $$\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$
Предел в задании подходит под указанные критерии, поэтому найдем предел производных числителя и знаменателя
$$\lim_{x \to 4}\frac{x^2-5x+4}{\sqrt{x} - 2e^{4-x}} = \lim_{x \to 4}\frac{(x^2-5x+4)'}{(\sqrt{x} - 2e^{4-x})'} = $$$$ = \lim_{x \to 4}\frac{2x-5}{\frac{1}{x} - 2e^{4-x}*(-1)} = \frac{2*4-5}{\frac{1}{4} + 2e^{4-4}} = \frac{3}{\frac{9}{4}} = \frac{4}{3}$$Ответ: \(\lim_{x \to 4}\frac{x^2-5x+4}{\sqrt{x} - 2e^{4-x}}= \frac{4}{3}\)
