Найти предел, не используя правило Лопиталя: \( \lim_{x \to 0}\frac{ \sin^4(2x)}{( \cos(x)-1)^2}\)
Решение: найдем предел $$ \lim_{x \to 0}\frac{ \sin^4(2x)}{( \cos(x)-1)^2} = \frac{ \sin^4(0)}{( \cos(0)-1)^2} = \frac{0}{0}$$ получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Будем разрешать неопределенность без применения правила Лопиталя. Проведем преобразования дроби, выделим в числителе и знаменателе множители, которые при нахождении предела стремятся к 0.
Применим формулу косинуса двойного угла \( \sin(2x)= 2 \sin(x)\cos(x)\), получаем
$$\lim_{x \to 0}\frac{ \sin^4(2x)}{( \cos(x)-1)^2} = \lim_{x \to 0}\frac{ 2^4\sin^4(x)\cos^4(x)}{( \cos(x)-1)^2} = $$ Применим формулу основного тригонометрического тождества \( \sin^2(x)+ \cos^2(x)= 1\) $$ = \lim_{x \to 0}\frac{ 2^4(1 - \cos^2(x))^2\cos^4(x)}{( \cos(x)-1)^2} = $$ применим формулу разности квадратов \(a^2−b^2=(a−b)(a+b)\)
$$ = \lim_{x \to 0}\frac{ 2^4(1 - \cos(x))^2(1 + \cos(x))^2\cos^4(x)}{( \cos(x)-1)^2} = $$ получили множитель \((1 - \cos(x))^2\) предел которого равен \( \lim_{x \to 0}(1 - \cos(x))^2 =0\) это и есть искомый множитель, сократим его в числителе и знаменателе
$$ = \lim_{x \to 0} 2^4(1 + \cos(x))^2\cos^4(x) = $$ найдем предел $$ = 2^4(1 + \cos(0))^2\cos^4(0) = 2^4(1 + 1)^2*1 = 2^6 = 64$$
Ответ: предел \( \lim_{x \to 0}\frac{ \sin^4(2x)}{( \cos(x)-1)^2} = 64\)
