Решение:
Воспользуемся условиями Коши-Римана: Если \( z = x+iy, \quad f(z) = u(x,y) + iv(x,y)\), то в каждой точке дифференцируемости функции \(f(z)\) выполняются соотношения: $$ \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}\\ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\end{cases}$$
1. Найдем частные производные.
В условии дано \( u = x^3-3xy^2-x\), по известной действительной части найдем $$ \begin{cases}\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial (x^3-3xy^2-x)}{\partial x} = 3x^2-3y^2-1 \quad (1)\\ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial (x^3-3xy^2-x)}{\partial y} = -6xy \quad (2)\end{cases} $$
2. Применим первое условие Коши-Римана \( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}\) для (1)
получаем $$\frac{\partial v}{\partial y} = 3x^2-3y^2-1 => $$$$ v(x,y) = \int (3x^2-3y^2-1)dy = 3x^2y-y^3-y + \phi(x) \quad (3)$$ где функцию \( \phi(x)\) - произвольная функция, которую нужно найти. Определим \(\phi(x)\), дифференцируя полученные выражения для \(u\), по \(x\)
\( \frac{\partial (3x^2y-y^3-y + \phi(x))}{\partial x} = 6xy + \phi'(x)\)
3. Применим второе условие Коши-Римана \( \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\) для (2)
получаем $$ 6xy = 6xy + \phi'(x) => \phi(x) = C$$ Нашли произвольную функцию \(\phi(x) = C\), подставляем результат в (3), получаем $$v(x,y) = 3x^2y-y^3-y + C$$ \( f(z) = u(x,y) + iv(x,y) \), поэтому $$ f(z) = x^3-3xy^2-x + i(3x^2y-y^3-y + C)$$
4. Преобразования.
Преобразуем полученное выражение с учетом $$ z = x+iy $$$$ z^2 = (x+iy)^2 = x^2+2ixy-y^2 $$ $$ z^3 = (x+iy)^3 = x^3+3ix^2y-3xy^2-iy^3 $$ получаем $$f(z) = x^3-3xy^2-x + i(3x^2y-y^3-y + C) = $$ группируем члены $$ = x^3 - 3xy^2-x + 3ix^2y-iy^3-iy + iC = $$$$ = (x^3 + 3ix^2y - 3xy^2 -iy^3) -(x+iy) + iC => $$$$ f(z) = z^3-z+iC$$
4. Найдём значение константы . В соответствии с начальным условием \(f(0)=0\)
$$f(z) = z^3-z+iC => $$$$ f(0) = z^3-z+iC =0 => C = 0$$
В соответствии с условием в ответ запишем мнимую часть и саму функцию с учётом найденного значения константы \(C=0\)
Ответ: \(v(x,y) = 3x^2y-y^3-y\), \(f(z) = z^3-z\)
