Дано координати точок A(1;4;0), B(5;6;-4), C(2;3;-4).
1) Скласти канонічне рівняння прямої AB;
2) Скласти рівняння площини, що проходить через точку C перпендикулярно до прямої AB і точку перетину цієї площини з прямою AB;
3) Знайти відстань від точки C до прямої AB.
Знайти:
1) Скласти канонічне рівняння прямої AB;
запишемо рівняння прямої AB, як рівняння прямої лінії, що проходить через точки A(1;4;0) і B(5;6;-4).
Користуючись формулою рівняння прямої лінії, що проходить через дві задані точки $$ \frac{x - x_1}{x_2-x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}$$ маємо $$ \frac{x - 1}{5-1} = \frac{y - 4}{6 - 4} = \frac{z - 0}{-4 - 0} => $$$$ \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z}{-2}$$
Відповідь: канонічне рівняння прямої лінії AB: \( \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z}{-2}\)
2) Скласти рівняння площини, що проходить через точку C(2;3;-4) перпендикулярно до прямої AB і точку перетину цієї площини з прямою AB;
Розглянемо канонічне рівняння прямої лінії $$ \frac{x - x_1}{m} = \frac{y - y_1}{n} = \frac{z - z_1}{p}$$ та рівня площини, що проходить через дану точку \(A(x_0;y_0;z_0)\) $$ A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0 \quad (2)$$ Умова перпендикулярності прямої лінії та площини $$ \frac{A}{m} = \frac{B}{n} = \frac{C}{p}$$ Напрямний вектор прямої лінії \( \vec{s} = (m;n;p) => \vec{s} = (2;1;-2)\) є нормальним вектором \(\vec{N}\) перпендикулярної до неї площини \( \vec{s} = \vec{N} = (A;B;C) => \vec{N} = (2;1;-2) \). Тоді за формулою (2) маємо: $$ 2*(x-2) + 1*(y-3) - 2(z+4) = 0 => 2x + y - 2z - 15 = 0$$
Точка перетину цієї площини з прямою AB
Координати точки \(M_1(x_1;y_1;z_1)\) перетину прямої із площиною мають вигляд $$x_1 = x_0 - \frac{m(Ax_0+By_0+Cz_0+D)}{Am+Bn+Cp}$$$$y_1 = y_0 - \frac{n(Ax_0+By_0+Cz_0+D)}{Am+Bn+Cp}$$$$z_1 = z_0 - \frac{p(Ax_0+By_0+Cz_0+D)}{Am+Bn+Cp}$$ Підставляємо координати точки прямий A(1;4;0)
$$x_1 = 1 - \frac{2(2*1 + 4 - 2*0 - 15)}{2*2+1*1+(-2)*(-2)} = 3$$
$$y_1 = 4 - \frac{1(2*1 + 4 - 2*0 - 15)}{2*2+1*1+(-2)*(-2)} = 5$$
$$z_1 = 0 - \frac{-2(2*1 + 4 - 2*0 - 15)}{2*2+1*1+(-2)*(-2)} = -2$$
Відповідь: координати точки перетину прямої із площиною \(M_1( 3; 5;-2)\)
3) Знайти відстань від точки C(2;3;-4) до прямої AB.
Розглянемо канонічне рівняння прямої $$ \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z}{-2}$$ Напрямний вектор прямої лінії \(\vec{s} = (m;n;p) = (2;1;-2)\)
Знайдемо вектор \( \vec{CM_1} = (3-2;5-3;-2+4) = (1;2;2)\)
Формула для визначення відстані від точки до прямої лінії $$ d = \frac{| \vec{s} \times \vec{CM_1}|}{|\vec{s}|} \quad (2)$$
Знайдемо векторний добуток $$\vec{s} \times \vec{CM_1} = \left|\begin{array}{c}i & j & k\\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right| = $$$$ = i\left|\begin{array}{c}1 & -2 \\ 2 & 2 \end{array}\right|-j\left|\begin{array}{c}2 & -2 \\ 1 & 2 \end{array}\right|+ k\left|\begin{array}{c} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{array}\right| = $$$$ = 6i-6j+3l=(6;-6;3)$$
Знайдемо модуль вектора \( \vec{s} \times \vec{CM_1} = \sqrt{x^2+y^2+z^2} = \sqrt{6^2+(-6)^2+3^2} = 9\)
Знайдемо модуль вектора \(\vec{s} = \sqrt{m^2+n^2+p^2} = \sqrt{2^2+1^2+(-2)^2} = 3\)
Підставляємо у формулу (3) $$ d = \frac{| \vec{s} \times \vec{CM_1}|}{|\vec{s}|} = \frac{9}{3} = 3$$
Відповідь: відстань від точки C(2;3;-4) до прямої AB дорівнює \(d = 3\)
