Дано координати вершин трикутника ABC. A(-4;10) B(8;1) C(12;23)

Дано координаты вершин треугольника ABC.
A(-4;10) B(8;1) C(12;23)

Найти:
1. длину стороны АВ
2. уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты
3. угол В в радианах с точностью до двух знаков
4. уравнение высоты СD и ее длину;
5. уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой СD;
6. уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ;
7. координаты точки М, симметричной к точке А относительно прямой С

 1)  Найдем длину стороны AB;
Длину стороны AB будем искать по формуле расстояния между точками $$ d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \quad (1)$$ Подставляем координаты точек  A(-4;10), B(8;1), получаем $$|AB| = \sqrt{(8+4)^2+(1-10)^2} = 15$$

Ответ: длина стороны AB равна \(|AB| = 15\)

2) Уравнения сторон AB и BC и их угловые коэффициенты.
Найдем уравнение стороны AB
Уравнение стороны будем искать как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки по формуле $$ \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} \quad (2) $$ Подставляем координаты вершин: 
уравнение стороны AB, при известных координатах вершины A(-4;10), B(8;1) $$ AB \quad \frac{x+4}{8+4} = \frac{y-10}{1-10} => y = 7 - \frac{3}{4}x $$
угловой коэффициент прямой AB равен \(k_{AB} = -\frac{3}{4}\)

Ответ: уравнение стороны AB:  \( y = 7 - \frac{3}{4}x \), угловой коэффициент \(k_{AB} = -\frac{3}{4}\)

Найдем уравнение прямой BC.  Уравнение стороны будем искать как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки по формуле $$ \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} \quad (2) $$
Подставляем координаты вершин:  
уравнение стороны BC, при известных координатах вершины B(8;1) C(12;23) $$ AB \quad \frac{x-8}{12-8} = \frac{y-1}{23-1} => y =  \frac{11}{2}x - 43 $$
угловой коэффициент прямой BC равен \(k_{BC} = \frac{11}{2}\)

Ответ: уравнение стороны BC:  \( y =  \frac{11}{2}x - 43 \), угловой коэффициент \(k_{BC} = \frac{11}{2}\)
 

3. угол В в радианах с точностью до двух знаков

Угол B - угол между прямыми AB и BC  - \(\angle ABC = \beta \) будем искать по формуле  $$ tg \beta = |\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}| \quad (3)$$ где \(k_1,k_2\) - угловые коэффициенты прямых \(k_{AB} = -\frac{3}{4} \quad k_{BC} = \frac{11}{2} \), подставляем в (3) $$tg \beta = |\frac{ \frac{11}{2} + \frac{3}{4}}{1-\frac{11}{2}\frac{3}{4} }| = 2 => \beta = 1.11 рад$$

Ответ: угол между прямыми AB и BC равен \( \angle \beta = 1.11 рад\) 

4. уравнение высоты СD и ее длину;
высота СD равна расстоянию от  точки C до прямой AB, применим формулу расстояния от точки до прямой по формуле  $$d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \quad (4)$$ где уравнение \(Ax+By+C=0\) - уравнение прямой в общем виде, а \(x_0;y_0\) - координаты точки, расстояние от которой до прямой равно \(d\), в нашем случае это C(12;23)
Получим уравнение прямой AB в общем виде \( y = 7 - \frac{3}{4}x => \frac{3}{4}x + y - 7 =0\). Подставляем уравнение прямой и координаты точки в формулу (4) $$d_{CD} = \frac{| \frac{3}{4}*12 + 1*23 - 7|}{\sqrt{(\frac{3}{4})^2+1^2}}  = 20$$

Ответ: длина высоты CD равна \(d = 20\)

уравнение высоты CD
Найдем уравнение прямой CD, которая перпендикулярна AB. Воспользуемся свойством угловых коэффициентов перпендикулярных прямых $$k_1*k_2=-1 \quad (5)$$ Угловой коэффициент одной перпендикулярной прямой известен \(k_{AB} = -\frac{3}{4} => \) из формулы (5) получаем угловой коэффициент прямой CD равный \(k_{CD} = \frac{4}{3}\). 
Найдем уравнение прямой CD, для этого воспользуемся уравнением прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении $$ y - y_0 = k(x - x_0) \quad (6)$$ заданная точка C(12;23), а заданное направление это угловой коэффициент \(k_{CD} = \frac{4}{3}\), получим $$ y - 23 = \frac{4}{3}(x -12) => y = \frac{4}{3}x + 7$$
Ответ: уравнение высоты CD \( y = \frac{4}{3}x + 7 \)

5. уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой СD;
Уравнение медианы AE.
Для нахождения медианы AE есть координата одной точки A(-4;10), а координаты второй точки прямой E найдем как координаты середины отрезка \(BC\), где B(8;1) C(12;23) по формуле \( E(\frac{x_B+x_C}{2};\frac{y_B+y_C}{2})\) => \( E(\frac{8+12}{2};\frac{1+23}{2}) \) => \( E( 10; 12) \)
Находим уравнение прямой \(AE\) по формуле уравнения прямой, проходящей через две заданные точки \(A\) и \(E\)  уравнение (1)$$ \frac{x+4}{10+4}=\frac{y-10}{12-10} => y =  \frac{1}{7}x + \frac{74}{7}$$
Ответ: уравнение медианы \( y =  \frac{1}{7}x + \frac{74}{7}\) 

Координаты точки К пересечения этой медианы с высотой СD
Найдем координаты точки пересечения K высоты CD и медианы AE, составим систему уравнений $$\begin{cases} y = \frac{4}{3}x + 7 \\ y =  \frac{1}{7}x + \frac{74}{7} \end{cases} => \begin{cases} x =3 \\y = 11 \end{cases} $$
Ответ: координаты точки пересечения K высоты CD и медианы AE \(K(3;11)\)

6. уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ;
Воспользуемся свойством угловых коэффициентов параллельных прямых $$k_1=k_2 \quad (7)$$ Угловой коэффициент известной  \(k_{AB} = -\frac{3}{4} => \).
Найдем уравнение искомой прямой , для этого воспользуемся уравнением прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении $$ y - y_0 = k(x - x_0) $$ заданная точка K(3;11), а заданное направление это угловой коэффициент \(k_2 = -\frac{3}{4}\), получим $$ y - 11 = -\frac{3}{4}(x - 3) => y = -\frac{3}{4}x + \frac{53}{4}$$
Ответ: уравнение прямой , которая параллельна стороне AB и проходит через точку K равно \(y = -\frac{3}{4}x + \frac{53}{4} \) 

7. координаты точки М, симметричной к точке А относительно прямой СD
Точка A лежит на стороне AB, для которой известна высота CD, таким образом, точки A и M лежат на стороне AB симметрично относительно высота CD. Для нахождения координат точки M найдем координаты точки D, как точки пересечения двух прямых AB и CD. Решим систему уравнений $$\begin{cases} y = 7 - \frac{3}{4}x \\y = \frac{4}{3}x + 7\end{cases} => \begin{cases} y = 7 \\x = 0\end{cases}$$ найдем координаты точки M, решим систему уравнений $$\begin{cases}x_M = x_A + 2(x_D-x_A) \\ y_M = y_A + 2(y_D-y_A)\end{cases} =>\begin{cases}x_M = -4 + 2(0+4) \\ y_M = 10 + 2(7-10)\end{cases} => \begin{cases}x_M = 4  \\ y_M = 4 \end{cases} $$
Ответ:  координаты точки М, симметричной к точке А относительно прямой СD равны M(4;4)