Дано: В колоде осталось 7 карт, из них 3 козырных. Наугад выбирают 4 карты. Пусть Х - число взятых козырных карт. Построить ряд распределения случайной величины X
Решение: дискретная случайная величина \(X\) - число взятых козырных карт принимает целые значения \(X \in \text{{0,1,2,3}}\), запишем ряд распределения случайной - таблица вида:
$$ \begin{array}{|c|c|c|}\hline x_i& 0& 1& 2& 3 \\ \hline \\ p_i& & & & \\ \hline \end{array} $$
Найдем вероятности случайных величин. Для этого применим формулу гипергеометрического распределения:
$$P_m = \frac{C_M^mC_{N-M}^{n-m}}{C_N^n} \quad (1)$$ где
\(N\) - общее количество карт,
\(M\) - количество козырных из общего количества карт,
\(n\) - количество выбранных карт,
\(m\) - количество выбранных козырных карт
Согласно условия задачи:
в колоде осталось всего 7 карт, т.е. \(N = 7\)
в колоде 3 козырных карты \(M=3\)
наугад выбираются 4 карты \(n=4\)
среди выбранных \(n=4\) карт могут быть козырные \(m = 0;m=1;m=2,m=3\)
подставим данные в формулу \((1)\), где
в знаменателе \(C_N^n = C_{7}^4\) - количество выборок из 7 карты по 4
в числителе произведение \(C_M^m = C_3^m\) - количество выбранных козырей из 4 выбранных карт \(m =0,m=1,m=2,m=3\) и
\(C_{N-M}^{n-m} = C_4^{4 -m}\) - количество выбранных простых карт из 4 выбранных карт \(4-m \)
Рассмотрим каждый случай отдельно и найдем его вероятность:
1. вытянули \(m=0\) козырей
$$p_0 = \frac{C_3^0C_4^4}{C_7^4} = \frac{1*1}{\frac{7!}{4!3!}} = \frac{1}{35}$$
2. вытянули \(m=1\) козырь
$$p_1 = \frac{C_3^1C_4^3}{C_7^4} = \frac{3*4}{\frac{7!}{4!3!}}= \frac{12}{35}$$
3. вытянули \(m=2\) козыря
$$p_2 = \frac{C_3^2C_4^2}{C_7^4} = \frac{ 3*\frac{4!}{2!2!}}{\frac{7!}{4!3!}}= \frac{18}{35} $$
4. вытянули \(m=3\) козыря
$$p_3 = \frac{C_3^3C_4^1}{C_7^4} = \frac{1*4}{\frac{7!}{4!3!}}= \frac{4}{35} $$
Проверяем результат: так как все события \(m = \text{{0,1,2,3}}\) (среди выбранных карт было 0 или 1 или 2 или 3 козырных) образуют полную группу событий, то сумма вероятностей должна быть равна 1, т.е. \( p_0 + p_1 + p_2 + p_3 = \frac{1}{35} + \frac{12}{35} + \frac{18}{35} + \frac{4}{35} = 1 \) расчеты проведены правильно, заполняем таблицу
$$ \begin{array}{|c|c|c|}\hline x_i& 0& 1& 2& 3 \\ \hline \\ p_i& \frac{1}{35} & \frac{12}{35} & \frac{18}{35} & \frac{4}{35} \\ \hline \end{array} $$
Получили искомый ряд распределения дискретной случайной величины
