Решение: обозначим числа, которые мы будем выбирать как x,y,z. Каждое из этих чисел будем откладывать на одноименной оси на отрезке [0;1]. Получаем, что выбранные три числа это точки в декартовой системе координат с координатами (x,y,z) и которые попадают в куб с длиной ребра равной 1.

Согласно условия задачи мы должны найти вероятность для точек, для которых выполняется неравенство x+y+z \leq 1
Найдем координаты точек, сумма координат которых не превышает единицу.
Рассмотрим некоторые ключевые точки:
A если координаты
y=z=0, ко координата
x \leq 1, получаем координаты вершины
A(1,0,0)B если координаты
x=z=0, ко координата
y \leq 1, получаем координаты вершины
B(0,1,0)C если координаты
x=y=0, ко координата
z \leq 1, получаем координаты вершины
C(0,0,1)
Рассмотрим плоскость, которая проходит через эти точки. Так как известны точки пересечения плоскости с осями, то уравнение этой плоскости в отрезках на осях равно x+y+z = 1
а точки, сумма координат которых меньше 1, будут лежать ниже этой плоскости
x+y+z \leq 1
Получили, что искомые точки - точки, принадлежащие пирамиде
OABC, тогда искомая вероятность будет равна отношению объемов пирамиды и куба
P = \frac{V_{пир}}{V_{куб}}
Объем куба равен
V_{куб} =a^3, т.к. длина ребра равна
a=1 =>
V_{куб} = 1Объем пирамиды равен
V_{пир} =\frac{1}{3}S_{осн}H, т.к. в основании лежит прямоугольный равнобедренный треугольник, то
S_{осн} = \frac{1}{2}a^2, а
H=a=1, получаем
V_{пир} =\frac{1}{3}*\frac{1}{2}a^2*a = \frac{1}{6}a^3 = \frac{1}{6}
Вероятность того, что сумма чисел x,y,z будет не больше 1 равна P = \frac{V_{пир}}{V_{куб}} = \frac{\frac{1}{6}}{1} = \frac{1}{6}
Ответ: вероятность того, что сумма чисел
x+y+z \leq 1 равна
P= \frac{1}{6}