Из отрезка [0;1] наудачу выбираются 3 числа. Какова вероятность того, что их сумма не будет превышат

Решение: обозначим числа, которые мы будем выбирать как $x,y,z$. Каждое из этих чисел будем откладывать на одноименной оси на отрезке [0;1]. Получаем, что выбранные три числа это точки в декартовой системе координат с координатами $(x,y,z)$ и которые попадают в куб с длиной ребра равной 1. 

Согласно условия задачи мы должны найти вероятность для точек, для которых выполняется неравенство

$$x+y+z \leq 1$$
Найдем координаты точек, сумма координат которых не превышает единицу.
Рассмотрим некоторые ключевые точки:
A если координаты $y=z=0$, ко координата $x \leq 1$, получаем координаты вершины $A(1,0,0)$
B если координаты $x=z=0$, ко координата $y \leq 1$, получаем координаты вершины $B(0,1,0)$
C если координаты $x=y=0$, ко координата $z \leq 1$, получаем координаты вершины $C(0,0,1)$

Рассмотрим плоскость, которая проходит через эти точки. Так как известны точки пересечения плоскости с осями, то уравнение этой плоскости в отрезках на осях равно

$$x+y+z = 1$$ а точки, сумма координат которых меньше 1, будут лежать ниже этой плоскости  $$x+y+z \leq 1$$ Получили, что искомые точки - точки, принадлежащие пирамиде $OABC$, тогда искомая вероятность будет равна отношению объемов пирамиды и куба $$P = \frac{V_{пир}}{V_{куб}}$$ Объем куба равен $V_{куб}  =a^3$, т.к. длина ребра равна $a=1$ => $V_{куб}  = 1$
Объем пирамиды равен $V_{пир}  =\frac{1}{3}S_{осн}H$, т.к. в основании лежит прямоугольный равнобедренный треугольник, то $S_{осн} = \frac{1}{2}a^2$, а $H=a=1$, получаем $V_{пир}  =\frac{1}{3}*\frac{1}{2}a^2*a = \frac{1}{6}a^3 = \frac{1}{6}$

Вероятность того, что сумма чисел x,y,z будет не больше 1 равна

$$P = \frac{V_{пир}}{V_{куб}} = \frac{\frac{1}{6}}{1} = \frac{1}{6}$$
Ответ: вероятность того, что сумма чисел $x+y+z \leq 1$ равна $P= \frac{1}{6}$