Loading Web-Font TeX/Math/Italic
Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Из отрезка [0;1] наудачу выбираются 3 числа. Какова вероятность того, что их сумма не будет превышат


0 Голосов
Розова Анаста
Posted Июнь 16, 2015 by Розова Анастасия Евгеньевна
Категория: Теория вероятностей
Всего просмотров: 7572

Из отрезка [0;1] наудачу выбираются 3 числа. Какова вероятность того, что их сумма не будет превышать единицу?

Теги: теория вероятностей, геометрическая вероятность

Лучший ответ


1 Vote
Вячеслав Морг
Posted Июнь 16, 2015 by Вячеслав Моргун

Решение: обозначим числа, которые мы будем выбирать как x,y,z. Каждое из этих чисел будем откладывать на одноименной оси на отрезке [0;1]. Получаем, что выбранные три числа это точки в декартовой системе координат с координатами (x,y,z) и которые попадают в куб с длиной ребра равной 1. 



Согласно условия задачи мы должны найти вероятность для точек, для которых выполняется неравенство x+y+z \leq 1


Найдем координаты точек, сумма координат которых не превышает единицу.
Рассмотрим некоторые ключевые точки:
A если координаты y=z=0, ко координата x \leq 1, получаем координаты вершины A(1,0,0)
B если координаты x=z=0, ко координата y \leq 1, получаем координаты вершины B(0,1,0)
C если координаты x=y=0, ко координата z \leq 1, получаем координаты вершины C(0,0,1)


Рассмотрим плоскость, которая проходит через эти точки. Так как известны точки пересечения плоскости с осями, то уравнение этой плоскости в отрезках на осях равно x+y+z = 1

а точки, сумма координат которых меньше 1, будут лежать ниже этой плоскости  x+y+z \leq 1
Получили, что искомые точки - точки, принадлежащие пирамиде OABC, тогда искомая вероятность будет равна отношению объемов пирамиды и куба P = \frac{V_{пир}}{V_{куб}}
Объем куба равен V_{куб}  =a^3, т.к. длина ребра равна a=1 => V_{куб}  = 1
Объем пирамиды равен V_{пир}  =\frac{1}{3}S_{осн}H, т.к. в основании лежит прямоугольный равнобедренный треугольник, то S_{осн} = \frac{1}{2}a^2, а H=a=1, получаем V_{пир}  =\frac{1}{3}*\frac{1}{2}a^2*a = \frac{1}{6}a^3 = \frac{1}{6}


Вероятность того, что сумма чисел x,y,z будет не больше 1 равна P = \frac{V_{пир}}{V_{куб}} = \frac{\frac{1}{6}}{1} = \frac{1}{6}


Ответ: вероятность того, что сумма чисел x+y+z \leq 1 равна P= \frac{1}{6}