Условие задачи соответствует схеме повторных испытаний в одинаковых условиях (формула Бернулли) $$P_n(m) = C_n^mp^m(1-q)^{n-m} = \frac{n!}{m!(n-m)!}p^m(1-q)^{n-m}$$
Приступаем к решению задачи:
а) ровно m раз;
Найдем вероятность по формуле Бернулли при \(р=0,5 => q= 1-p = 0,5, n=4, m=2\). Подставляю в формулу $$P_4(2) = C_4^20,5^2(1-0,5)^{4-2} = \frac{4!}{2!(4-2)!}0,5^2(1-0,5)^{4-2} = 6*0,5^4 = 0,375$$Ответ: вероятность того, что событие \(A\) наступит ровно \(m=2\) равна \(p=0,375\)
б) не менее m раз;
это означает, что событие \(A\) должно наступить \(m\) раз и более. В данном случае 2,3 или 4 раза. Все события независимые (вероятность появления события \(A\) 2 раза ни как не влияет на вероятность появления события \(A\) - 3 раза и наоборот и т.д. ). Т.е. для нахождения вероятности наступления события \(A\) не менее \(m\) раз будем применять формулу сложения вероятностей $$P = P_4(2) + P_4(3) + P_4(4)$$Найдем каждую вероятность по формуле Бернулли $$P_4(2) = C_4^20,5^2(1-0,5)^{4-2} = 0,375$$$$P_4(3) = C_4^30,5^3(1-0,5)^{4-3} = \frac{4!}{3!(4-3)!}0,5^3(1-0,5)^{4-3} = 4*0,5^4 = 0,25$$$$P_4(4) = C_4^40,5^4(1-0,5)^{4-4} = \frac{4!}{4!(4-4)!}0,5^4(1-0,5)^{4-4} = 1*0,5^4 = 0,0625$$Итоговая вероятность будет равна $$P = P_4(2) + P_4(3) + P_4(4) = 0,375 + 0,25 + 0,0625 = 0,6875$$Ответ: вероятность того, что событие \(A\) наступит не менее \(m=2\) раз равна \(p=0,6875\)
в) не более m раз;
это означает, что событие \(A\) должно наступить не более \(m\) раз, в данном случае 1 или 2 раза. Все события независимые , для нахождения вероятности наступления события \(A\) не более \(m\) раз будем применять формулу сложения вероятностей $$P = P_4(1) + P_4(2)$$Найдем каждую вероятность по формуле Бернулли $$P_4(1) = C_4^10,5^1(1-0,5)^{4-1} = \frac{4!}{1!(4-1)!}0,5^1(1-0,5)^{4-1} = 4*0,5^4 = 0,25$$$$P_4(2) = C_4^20,5^2(1-0,5)^{4-2} = 0,375$$Итоговая вероятность будет равна $$P = P_4(1) + P_4(2) = 0,25 + 0,375 = 0,625$$Ответ: вероятность того, что событие \(A\) наступит не более \(m=2\) раз равна \(p=0,625\)
г) хотя бы один раз;
это означает, что событие \(A\) должно наступить. Это может быть 1,2,3 или 4 раза. В данном случае можно рассчитать вероятность по схеме предыдущих ответов, но можно и по другому. Найдем вероятность события - событие \(A\) не наступило ни разу, т.е. оно не наступило ни в первом испытании, ни во втором, ни в третьем, ни в четвертом. Все эти события связаны, т.е. полную вероятность будем искать по формуле произведения. Вероятность не наступления события \(A\) в одном (любом испытании) равна \(q = 1 - p = 0,5\), тогда вероятность не наступления события \(A\) в 4-х испытаниях равна \(Q = q_1*q_2*q_3*q_4 =>\) (индекс - номер испытания) $$Q = 0,5*0,5*0,5*0,5 = 0,0625$$Тогда вероятность наступления хотя бы одного события равна \(P = 1-Q = 1 - 0,0625 = 0,9375\).
Для проверки рассчитаем вероятность по схеме предыдущих пунктов и учетом полученных в них данных \(P = P_4(1) + P_4(2) + P_4(3) + P_4(4) = 0,25 + 0,375 + 0,25 + 0,0625 = 0,9375\). Ответы совпали.
Ответ: вероятность того, что событие \(A\) наступит хотя бы 1 раз равна \(p=0,9375\)
