Розв'яжемо диференціальне рівняння : \((5 \sqrt{xy} -y) dx + xdy = 0 \)
Рішення :
Визначення: однорідні диференціальні рівняння можуть бути представлені у вигляді \(y '= f ( \frac {y}{x}) \) або \(M(x, y)dy + N(x, y)dy = 0 \), де \(M(x , y) \) і \(NM (x, y) \) - однорідні функції однакового ступеня. Для вирішення цих однорідних диференціальних рівнянь застосовується заміна \(y = ux = > dy = udx + xdu \) в результаті отримаємо диференціальне рівняння із перемінними.
Вирішуємо диференціальне рівняння: $$ ( 5 \sqrt{xy} -y) dx + xdy = 0 = > $$ проведемо перетворення цього диференціального рівняння $$ (5 \sqrt{xy} -y) dx = -xdy = > -5 \sqrt { \frac{y}{x}} + \frac{y}{x} = \frac{dy}{dx} $$ це однорідне диференціальне рівняння першого ступеня виду \(y '= f( \frac{y}{x}) \). Для вирішення диференціального рівняння застосовуємо заміну \(y = ux => y '= u'x + u \), отримуємо $$ - 5 \sqrt{ \frac{ux}{x}} + \frac{ux}{x} = > u'x + u => $$$$ - 5 \sqrt{u} + u = u'x + u => - 5 \sqrt{u} = u'x => $$ отримали диференціальне рівняння першого ступеня із перемінними, вирішимо його, розділимо змінні (x і u перенесемо а різні сторони рівняння) $$ - 5 \sqrt{u} = \frac{du}{dx } x >= - \frac{dx}{x} = \frac{du}{5 \sqrt{u}} $$ інтегруємо обидві частини рівняння $$ - \int \frac{dx}{x} = \int \frac{du}{5 \sqrt {u}} => - \ln(x) = \frac{1}{5}\frac{1}{- \frac{1}{2} +1}\sqrt{u} + C $$$$ - \ln(x) = \frac{2}{5} \sqrt{u} + C $$ Застосовуємо зворотну заміну \(y = ux => u = \frac{y}{x} \), отримуємо $$ - \ ln (x) = \frac{2}{5}\sqrt{ \frac{y }{x}} + C = > $$$$ y = x [\frac{5}{2}(C - \ln(x))]^2 $$
Відповідь : загальне рішення однорідного диференціального рівняння \( y = x[ \frac{5}{2}(C - \ln(x))]^2 \)
