Решим дифференциальное уравнение: e^{x+y}dx+ydy=0
Решение:
Определение: уравнение вида \frac{dy}{dx} = f(x)g(y)
называется уравнением с разделяющимися переменными (линейное однородное уравнение). Решается методом переноса в разные части уравнения переменных (разделяем переменные), т.е. получаем уравнение
\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx
Уравнение в задании является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные уравнения
e^{x+y}dx+ydy=0=> e^xe^ydx+ydy = 0 =>
переносим все члены с переменной
y в одну часть уравнения, а с
x в другую. Нужно помнить, что при делении возможно появление особых решений (например знаменатель равен 0), которые нужно проверять отдельно. Получим
e^xe^ydx = -ydy => e^xdx = -\frac{y}{e^y}dy =>
интегрируем правую и левую части уравнения
\int e^xdx = -\int \frac{y}{e^y}dy => e^x = - \int \frac{y}{e^y}dy \quad (1)
находим интеграл
\int \frac{y}{e^y}dy применим формулу интегрирования по частям \int udv = uv - \int vdu
u = y => dy = dy,
dv = e^{-y}dy => v = -e^{-y}, получаем
\int \frac{y}{e^y}dy = \int ye^{-y}dy = -y*e^{-y} + \int e^{-y}dy =
= -y*e^{-y} - e^{-y} +C = -e^{-y}(y+1) +C
подставляем в (1)
e^x = - \int \frac{y}{e^y}dy => e^x = e^{-y}(y+1) +C
Полученное решение можно преобразовать, используя
W-Функцию Ламберта z = W(z)e^{W(z)}. проведем преобразования
e^x = e^{-y}(y+1) +C => e^x - C= e^{-y}(y+1) =>
e^x - C= -e^{-y}(-y-1) => e^x - C= -e^{-y-1}(-y-1)*e =>
-\frac{e^x - C}{e}= e^{-y-1}(-y-1) =>
из определения следует, что
W-Функция Ламберта равна
W(-\frac{e^x - C}{e}) = -y-1 => y = -W(-\frac{e^x - C}{e}) - 1
Ответ: y = -W(-\frac{e^x - C}{e}) - 1
