Задание: Пирамида ABCS задана координатами вершин A(5;-4;-2), B(-1;9;-7), C(3;-3;-7), S(-6;-8;-1).
Найти:
1. уравнение ребра AC.
2. площадь грани ABC,
3. объем пирамиды,
4. длину высоты SO и ее уравнение,
5. угол между ребрами AS и BC,
6. уравнение грани ASB,
Решение:
1. уравнение ребра AC.
Уравнения прямой AC будем искать как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки \( \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}\)
Подставляем координаты точек и получаем уравнения прямой $$ AC = \frac{x-5}{3-5} = \frac{y+4}{-3+4} = \frac{z+2}{-7+2} => $$ $$ AC = \frac{x-5}{-2} = \frac{y+4}{1} = \frac{z+2}{-5} $$
Ответ: уравнение ребра AC равно \( AC = \frac{x-5}{-2} = \frac{y+4}{1} = \frac{z+2}{-5}\)
2. Найдем площадь грани ABC.
Грань является треугольником, который задан координатами его вершин, т.е. площадь грани равна площади треугольника ΔABC. Что бы найти площадь ΔABC воспользуемся формулой площади треугольника \(S = \frac{1}{2}ah\).
Найдем длину основания \(AC\), будем рассчитывать как расстояние между точками. Расстояние между точками ищется по формуле \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\) Подставляем координаты точек в формулу и получаем длину стороны $$ a = AC = \sqrt{(3-5)^2+(-3+4)^2+(-7+2)^2} = \sqrt{30}$$ Найдем высоту \(h\), как расстояние между вершиной \(B\) и прямой AC.
Расстояние от точки до прямой рассчитывается в координатной форму по формуле $$d = \frac{\sqrt{\left|\begin{array}{c}n & p \\ y_0 - y_1 & z_0 - z_1\end{array}\right|^2 + \left|\begin{array}{c}m & p \\ x_0 - x_1 & z_0 - z_1\end{array}\right|^2 + \left|\begin{array}{c}m & n \\ x_0 - x_1 & y_0 - y_1\end{array}\right|^2}}{\sqrt{m^2 + n^2 + p^2}} \quad (1)$$ где \(s = (m,n,p)\) - направляющий вектор, координаты которого берем из уравнения прямой \( \frac{x-x_1}{m}=\frac{y-y_1}{n}=\frac{z-z_1}{p}\), получаем \(m = -2; n = 1; p = -5\). Координаты \((x_0;y_0;z_0)\) - координаты точки B(-1;9;-7) \((x_0 = -1;y_0 = 9;z_0 = -7)\), а координаты \((x_1;y_1;z_1)\) - координаты точки прямой AC. Выберем координаты точки \(A\), получаем $$ x_1 = 5; y_1 = -4; z_1 = -2 $$ подставляем в (1)
$$h = \frac{\sqrt{\left|\begin{array}{c} 1 & -5 \\ 9 +4 & -7 +2\end{array}\right|^2 + \left|\begin{array}{c}-2 & -5 \\ -1 - 5 & -7 +2\end{array}\right|^2 + \left|\begin{array}{c} -2& 1 \\ -1 - 5 & 9 + 4 \end{array}\right|^2}}{ \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-5)^2}} =>$$$$ d= \frac{ \sqrt{ 60^2+(-20)^2 + (-20)^2 }}{ \sqrt{30}} = 2\sqrt{\frac{110}{3}}$$
Площадь треугольника (грани) ΔABC равна $$ S_{ΔABC} = \frac{1}{2} 2\sqrt{\frac{110}{3}} \sqrt{30} = 10\sqrt{11}$$
Ответ: площадь грани ABC равна \( S_{ΔABC} = 10\sqrt{11}\)
