Решение: можно решить так. Рассмотрим несколько случаем, которые будут отличаться только количеством дам.
1. Среди 5 карт 1 дама.
Даму будем выбирать из 4, используя формулу сочетаний \(C_4^1 = \frac{4!}{1!3!}=4\).
Одну даму выбрали, осталось 4 места, которые мы должны заполнить картами кроме дам,т.е. выбираем 4 карты из оставшихся 52-4=48 карт, получаем \(C_{48}^4 = \frac{48!}{4!44!} = 194580\)
Далее воспользуемся правилом произведения
Правило произведения. Если объект A можно выбрать из множества объектов m способами и после каждого такого выбора объект B можно выбрать n способами, то пара объектов (A,B) в указанном порядке может быть выбрана \(m*n\) способами.
Таким образом количество способов \(N_5(1)\) выбрать 5 карт с 1 дамой равно $$N_5(1) = C_4^1*C_{48}^4 = 4*194580 = 778320$$
2. Среди 5 карт 2 дамы.
Две дамы будем выбирать из 4, используя формулу сочетаний \(C_4^2 = \frac{4!}{2!2!}=6\).
Две дамы выбрали, осталось 3 места, которые мы должны заполнить картами кроме дам,т.е. выбираем 3 карты из оставшихся 52-4=48 карт, получаем \(C_{48}^3 = \frac{48!}{3!45!} = 17296\)
Далее воспользуемся правилом произведения
Таким образом количество способов \(N_5(2)\) выбрать 5 карт с 2 дамами равно $$N_5(2) = C_4^2*C_{48}^3 = 6*17296 = 103776$$
3. Среди 5 карт 3 дамы.
Три дамы будем выбирать из 4, используя формулу сочетаний \(C_4^3 = \frac{4!}{1!3!}=4\).
Три дамы выбрали, осталось 2 места, которые мы должны заполнить картами кроме дам, т.е. выбираем 2 карты из оставшихся 52-4=48 карт, получаем \(C_{48}^2 = \frac{48!}{2!46!} = 1128\)
Далее воспользуемся правилом произведения
Таким образом количество способов \(N_5(3)\) выбрать 5 карт с 3 дамами равно $$N_5(3) = C_4^3*C_{48}^2 = 4*1128 = 4512$$
Применим правило суммы:
Правило суммы. Если некоторый объект \(A\) может быть выбран из совокупности объектов \(n\) способами, а другой объект \(B\) может быть \(m\) способами, то выбрать либо \(A\) , либо \(B\) можно \(m+n\) способами.
Сколькими способами \(N\) можно вытянуть 5 карт так, чтобы среди них были дамы, но не более 3 (порядок карт не имеет значения)?
Применяем правило суммы, количество способов будет равно $$N_5( m \leq 3) = N_5(1) + N_5(2) + N_5(3) = 778320 + 103776 + 4512 = 886608$$
Ответ: количество способов равно \(N = 886608\)
