Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Разложить в ряд Фурье на \([-\pi,\pi]\) функцию $$ f(x) = \frac{1}{8}\pi( \pi-2x)$$


0 Голосов
Левченко Анна
Posted Май 12, 2015 by Левченко Анна Александровна
Категория: Математический анализ
Всего просмотров: 1881

Разложить в ряд Фурье на \([-\pi,\pi]\) функцию $$ f(x) = \frac{1}{8}\pi( \pi-2x)$$

Теги: ряд Фурье, разложить функцию в ряд Фурье

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Май 12, 2015 by Вячеслав Моргун

Решение: разложим в ряд Фурье функцию $$ f(x) =  \frac{1}{8} \pi(\pi-2x) $$
Определение: функция \(f(x)\) удовлетворяет условию Дирихле на отрезке [a;b], если она:
1. непрерывна на этом отрезке или имеет на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода;
2. кусочно-монотонная на отрезке [a;b], т.е. на этом отрезке может быть конечное число экстремумов.


Функция f(x) , которая задана на отрезке \([-\pi;\pi]\), удовлетворяет условию Дирихле, так как в каждой точке промежутка  \([-\pi;\pi]\) она непрерывна и может быть записана в виде ряда Фурье $$f(x) = \frac{a_0}{2}+a_1\cos(x)+b_1\sin(x)+ ... + a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)+ ... = $$$$ = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)) \quad (1)$$ называется тригонометрическим рядом.
Коэффициенты \(a_0,a_n,b_n\) ряда для \(2\pi\) периодической функции f(x) рассчитываются по формулам $$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx$$$$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx$$$$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx$$ эти коэффициенты называются коэффициентами Фурье, а ряд $$\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))$$ называется рядом Фурье.


Раскладываем в ряд Фурье функцию \(f(x) =  \frac{1}{8} \pi(\pi-2x) \)


Найдем коэффициенты Фурье: 


1. Коэффициент \( a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx\)
$$ a_0 =  \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}  \frac{1}{8} \pi(\pi-2x)dx =  \frac{1}{8} \int_{-\pi}^{\pi} (\pi-2x)dx = $$$$ = \frac{1}{8} [ \pi*x - x^2|_{-\pi}^{\pi}] =  \frac{1}{8} 2\pi^2 = \frac{1}{4}\pi^2$$
2. Коэффициент \( a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx \) 
$$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{8} \pi(\pi-2x)\cos(nx)dx = $$$$ = \frac{1}{8}\int_{-\pi}^{\pi} (\pi-2x)\cos(nx)dx =  \frac{\pi \sin(n\pi)}{4 n} = 0$$


3. Коэффициент \( b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx \) 
$$b_n =  \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{8} \pi(\pi-2x) \sin(nx)dx = $$$$ = \frac{1}{8} \int_{-\pi}^{\pi} (\pi-2x) \sin(nx)dx = \frac{4n\pi \cos(n\pi) -4\sin(n\pi)}{8n^2} = $$$$ = \frac{4n\pi \cos(n\pi) -0}{8n^2} = \frac{\pi \cos(n\pi)}{2n} = (-1)^n \frac{\pi}{2n}$$ 


Подставляем найденный коэффициенты в формулу ряда Фурье (1), получаем $$ f(x) =   \frac{1}{8}\pi^2 + \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{\pi}{2n}\sin(nx) => $$$$  \frac{1}{8} \pi(\pi-2x) = \frac{1}{8}*\pi^2 - \frac{\pi}{2}*\sin(x)+ \frac{\pi}{4}*\sin(2x) +$$$$ + ...  + (-1)^n \frac{\pi}{2n}\sin(nx)$$


Строим график функции: 
Из графика функции видно, что при увеличении количества членов ряда Фурье график суперпозиции периодических функций ряд приближается к графику функции \(f(x) = \frac{1}{8} \pi(\pi-2x)\), раскладываемую и ряд Фурье.


разложить функцию в ряд Фурье