Найдем несобственный интеграл: \( \int_0^{+\infty}\frac{1}{x^2+4}dx \)
Решение: несобственным интегралом первого рода от функции \(f(x)\), непрерывной при \(a \leq x \leq \infty\) называется предел $$ \int_a^{\infty}f(x)dx = \lim_{b \to \infty}\int_a^bf(x)dx$$
Решаем. Подынтегральная функция определена и непрерывна во всех точках заданного интеграла \([0;\infty)\), соответственно, согласно определения несобственного интеграла получаем $$ \int_0^{+\infty}\frac{1}{x^2+4}dx= \lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b}\frac{1}{x^2+4}dx = $$ для нахождения интеграла применим табличный интеграл арктангенса \( \int \frac{1}{x^2+a^2}dx = \frac{1}{a}arctg( \frac{x}{a}) + C\) и применим формулу Ньютона-Лейбница \( \int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a) \), получим $$ = \lim_{b \to \infty} (\frac{1}{2}arctg( \frac{x}{2})|_0^b) =$$$$ = \frac{1}{2} \lim_{b \to \infty}( arctg( \frac{x}{2})|_0^b) = \frac{1}{2} [\lim_{b \to \infty} arctg( \frac{b}{2}) - arctg( \frac{0}{2})] = $$$$ = \frac{1}{2} ( arctg( \frac{\infty}{2}) - 0) = \frac{1}{2} \frac{ \pi}{2} = \frac{ \pi}{4}$$
Ответ: \( \int_0^{+\infty}\frac{1}{x^2+4}dx = \frac{ \pi}{4} \)
