Построим ряд распределения случайной величины - попадание в мишень. Нам необходимо установить связь между значениями случайной величины (попадание в мишень) и соответствующими вероятностями.
Для начала запишем вероятности попадания и промаха для каждого из стрелков
для первого стрелка - p_1=0,3 - вероятность попадания в цель, q_1= 1 - p_1 = 0,7 - вероятность промаха
для второго стрелка - p_2=0,6 - вероятность попадания в цель, q_2= 1 - p_2 = 0,4 - вероятность промаха
для второго стрелка - p_3=0,7 - вероятность попадания в цель, q_3= 1 - p_3 = 0,3 - вероятность промаха
Случайная величина может X принимать следующие значения:
x_0 = 0 - никто из спортсменов не попал в мишень ,
x_1 =1 - попали в одну из мишеней,
x_2=2 - попали в две мишени,
x_3=3 - попали в три мишени.
На основании полученных данных рассчитаем вероятности для каждой случайной величины и заполним таблицу - ряд распределения случайной величины
x_0 - никто из спортсменов не попал в мишень, т.е. находится совместное наступление событий - все спортсмены промахнулись P_0 = q_1*q_2*q_3 = 0,7*0,4*0,3 =0,084
x_1 - один из спортсменов попал в мишень, рассчитаем 3 вероятности - первый попал остальные промахнулись p_1*q_2*q_3 + второй попал, остальные нет q_1*p_2*q_3 + третий попал остальные нет q_1*q_2*p_3, получили P_1 = p_1*q_2*q_3 + q_1*p_2*q_3 + q_1*q_2*p_3 = 0,3*0,4*0,3 + 0,7*0,6*0,3 + 0,7*0,4*0,7 = 0,358
x_2 - два спортсмена попали в мишени, рассчитаем вероятность как и в предыдущем случае, только учтем, что в этот раз попали в 2 мишени P_2 = p_1*p_2*q_3 + p_1*q_2*p_3 + q_1*p_2*p_3 = 0,3*0,6*0,3 + 0,3*0,4*0,7 + 0,7*0,6*0,7 = 0,432
x_3 - все спортсмены попали в мишени P_3 = p_1*p_2*p_3 = 0,3*0,6*0,7 = 0,126 подставим полученные результаты в таблицу
\begin{array}{|c|c|} \hline \\ x_0 & x_1 & x_2 & x_3 \\ \hline \\ q_1*q_2*q_3 = & p_1*q_2*q_3+ & p_1*p_2*q_3+ & p_1*p_2*p_3= \\ & q_1*p_2*q_3+ & p_1*q_2*p_3+ &\\ & q_1*q_2*q_3 =& q_1*p_2*p_3 = & \\ \hline \\ 0,084 & 0,358 & 0,432 & 0,126 \\ \hline \end{array}
Проверим правильность построения ряда распределения случайной величины:
сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна 1. Проверим это 0,084+0,358+0,432+0,126 = 1.Ряд распределения случайной величины построен правильно.
Найдем функцию распределения: функция распределения строится на основании ряда распределения с помощью выражения F(x) = \sum_{x_i < x}P(X = x_i)
Сроим функцию распределения случайной величины.
1. При
x \leq 0 F(x) = \sum_{x_i < 0}P(X = x_i) = 02. При
0 < x \leq 1 F(x) = \sum_{x_i < 1}P(X = x_i) = P(X = 0) = 0,084 3. При
1 < x \leq 2 F(x) = \sum_{x_i < 2}P(X = x_i) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,084 + 0,358 = 0,4424. При
2 < x \leq 3 F(x) = \sum_{x_i < 3}P(X = x_i) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,084 + 0,358 + 0,432 = 0,8745. При
3 < x F(x) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0,084 + 0,358 + 0,432 + 0,126 = 1
График функции распределения представлен на рис. 1

Найдем математическое ожидание числа пораженных мишеней:
Математическим ожиданием M[X] случайной величины X называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятность этих значений M[X] = \sum_{i=1}^{\infty}x_ip_i
Найдем математическое ожидание
M[X] = x_0*P_0 + x_1*P_1 + x_2*P_2 + x_3*P_3 = 0*0,084 + 1*0,358 + 2*0,432 + 3*0,126 = 1,6
Математическое ожидание равно
M[X]=1,6 попадания в мишени.
Найдем среднее квадратичное отклонение числа пораженных мишеней:
Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения величины от ее математического ожидания D[X] =M[(X-m_x)^2]
для дискретной случайной величины дисперсия выражается суммой
D[X] = \sum_{i=1}^n(x_i-m_x)^2P_i
Дисперсия - характеристика рассеивания возможных значений случайной величины, но она имеет размерность квадрата случайной величины. Для большего удобства используют среднеквадратическое отклонение случайной величины
X той же размерности что и
X \sigma_x = \sqrt{D[X]} => \sigma_x = \sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-m_x)^2P_i}
подставляем полученные данные
\sigma_x = \sqrt{(x_0 - m_x)^2P_0 + (x_1 - m_x)^2P_1 + (x_2 - m_x)^2P_2 + (x_3 - m_x)^2P_3}
\sigma_x = \sqrt{(0 - 1,6)^2*0,084 + (1 - 1,6)^20,358 + (2 - 1,6)^20,432 + (3 - 1,6)^20,126}
\sigma_x = \sqrt{1,6^2*0,084 + 0,6^20,358 + 0,4^20,432 + 1,4^20,126} \approx 0,81
Найти вероятность того,что пораженных мишеней будет:
Указанные вероятности можно искать по разному. У нас есть функция распределения. На основании ее свойства и будем находить:
Вероятность появления случайной величины в интервале [\alpha;\beta), равна разности значений функции распределения в концах интервала, т.е. P(\alpha \leq x < \beta) = F(\alpha) - F(\beta)
Смотрим рис.1
а)хотя бы одна;
Это значит, что необходимо найти вероятность, что промаха не будет, т.е. интервал будет ([1;3) => P([1;3)) = P(3) - P(1) = 1 - 0,084 = 0.916
или воспользуемся данными ряда распределения случайной величины P = P_1+P_2+P_3 = 0,358 + 0,432 + 0,126 = 0,916
б)менее двух.
Это значит, будет 0 или 1 попадание , т.е. интервал будет [0;1) => P([0;1)) = P(1) - P(0) = 0,442 - 0 = 0,442
или воспользуемся данными ряда распределения случайной величины P = P_0+P_1 = 0,084 + 0,358 = 0,442