Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями: \(6(t-\sin(t)) \),


0 Голосов
Бондарчук Арт
Posted Май 10, 2015 by Бондарчук Артем Валерьевич
Категория: Математический анализ
Всего просмотров: 2763

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями: $$ \begin{cases} x = 6(t- \sin(t))\\ y= 6(1- \cos(t))\end{cases} $$$$ y \geq 9; \quad 0 \leq x  \leq 12\pi$$


 

Теги: найти площадь фигуры ограниченную линиями, площадь фигуры ограниченной параметрически заданными лини

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Май 10, 2015 by Вячеслав Моргун

Решение:
пусть граница области D задана параметрическими уравнениями \(x = x(t); \quad y =y(t)\), где \(t_1 \leq t \leq t_2\), где функции \(x(t); y(t)\) - непрерывно дифференцируемые на отрезке \([t_1;t_2]\). Если при движении вдоль границы от \(t_1\) к \(t_2\) область D остается слева, то ее площадь может быть рассчитана по формуле $$S = - \int_{t_1}^{t_2}x'(t)y(t)dt \quad (1)$$$$S =  \int_{t_1}^{t_2}x(t)y'(t)dt \quad (2)$$$$S = \frac{1}{2}\int_{t_1}^{t_2}[x(t)y'(t) - x'(t)y(t)]dt \quad (3)$$


В задании представлено уравнение циклоиды. При движении точки вдоль первой арки циклоиды параметр \(t\) меняется от \(0\) до \(2\pi\), т.к. \(y(0) = y(2\pi)=0\) в других точках указанного промежутка \(y > 0 \).
При таком направлении обхода границы область находится справа, т.е. при использовании формулы изменим знак на противоположный (применим, например, формулу (1)) $$S = \int_{t_1}^{t_2}x'(t)y(t)dt$$
Найдем границы отрезка \([t_1;t_2]\).

Строим циклоиду
 площадь фигуры заданой параметрическими уравнениями


Согласно условия задачи \( 0 \leq x  \leq 12\pi => 0 \leq 6(t- \sin(t))  \leq 12\pi => 0 \leq t \leq 2\pi\)
Подставим значения \(y \geq 9\), получаем $$ 6(1-\cos(t)) \geq 9 => -\frac{1}{2} \geq \cos(t) =>  \cos(t) \leq -\frac{1}{2} => $$ значение параметра \(t\) будем брать на отрезке \([0;2\pi]\) $$\begin{cases}0 \leq x \leq 2\pi\\ \frac{2}{3}\pi(3n+1) \leq t \leq \frac{2}{3}\pi(3n+2), n \in Z\end{cases} => $$$$ \begin{cases}0 \leq x \leq 2\pi\\ \frac{2}{3}\pi \leq t \leq \frac{4}{3}\pi, n=0 \end{cases} $$ Подставляем границы $$S = \int_{\frac{2}{3}\pi }^{{\frac{4}{3}\pi }}(6(t- \sin(t))'6(1-\cos(t))dt = 36\int_{\frac{2}{3}\pi }^{{\frac{4}{3}\pi }}(1- \cos(t))^2dt = $$$$ =36\int_{\frac{2}{3}\pi }^{{\frac{4}{3}\pi }}(1- 2\cos(t) + \cos(t)^2)dt = $$ применяем формулу косинуса двойного угла \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\) $$ = 36\int_{\frac{2}{3}\pi }^{{\frac{4}{3}\pi }}(1- 2\cos(t) + \frac{1+\cos(2t)}{2})dt =$$$$ = 36\int_{\frac{2}{3}\pi }^{{\frac{4}{3}\pi }}( \frac{3}{2}- 2\cos(t) + \frac{\cos(2t)}{2})dt =$$$$ = 36( \frac{3}{2}t - 2\sin(t) + \frac{ \sin(2t)}{4})|_{\frac{2}{3}\pi }^{{\frac{4}{3}\pi }} = 9(9\sqrt{3}+4\pi) \approx 253.39 $$
Ответ: площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными параметрическими уравнениями равна \(S \approx 253.39 \)