Найдем интеграл: \( \int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2}dx \)
Решение: Найдем неопределенный интеграл $$ \int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2}dx = \int (1-x^2)^{\frac{1}{2}}x^{-2}dx$$ Это интеграл от биномиального дифференциала вида $$ \int x^m(a+bx^n)^pdx$$ будем решать применяя одну из подстановок Чебышева и сведем его к интегралу от рациональной функции.
Определим значения констант путем сравнения формулы задания с формулой интеграла от биномиального дифференциала \( m = -2; \quad a = 1; \quad b = -1; \quad n = 2; \quad p = \frac{1}{2} \).
Проверим $$ \frac{m+1}{n} + p = \frac{-2+1}{2} +\frac{1}{2} = 0 \in Z$$ получили целое число, т.е. имеем третий случай интегрированности биномиального дифференциала , т.е. нужно применить замену вида (третья подстановка Чебышева) $$ ax^{-n}+b = t^k$$где \(k\) - знаменатель дроби \(p\), т.е. \(k = 2\), получили замену $$ x^{-2}-1 = t^2 => x = \frac{1}{ \sqrt{t^2+1}} => $$$$ -2x^{-3}dx = 2tdt $$ Преобразуем интеграл для применения замены $$ \int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2}dx = \int x \sqrt{\frac{1}{x^2}-1}x^{-2}*\frac{x}{x}dx = $$ Подставляем замену в интеграл $$ = - \int \sqrt{ t^2}\frac{1}{t^2+1}tdt = - \int \frac{t^2}{t^2+1}dt$$ выделим целую часть в числителе $$ = - \int \frac{t^2+1-1}{t^2+1}dt = - \int dt + \int \frac{1}{t^2+1}dt = $$ Применим табличный интеграл арктангенса \( \int \frac{1}{1+x^2}dx = arctg(x)+C\), получаем $$ = - t + arctg(t) +C =$$ применим обратную замену \(t = \sqrt{x^{-2}-1} => t = \frac{ \sqrt{1-x^2}}{x} \), получаем $$ = -\frac{ \sqrt{1-x^2}}{x} + arctg(\frac{ \sqrt{1-x^2}}{x}) +C = $$ Воспользуемся свойством обратной функции \(\arccos(x) = arctg(\frac{ \sqrt{1-x^2}}{x}) = \frac{ \pi}{2} - \arcsin(x) \), подставляем $$ = -\frac{ \sqrt{1-x^2}}{x} + \arccos(x) +C = -\frac{ \sqrt{1-x^2}}{x} - \arcsin(x) +C $$
Ответ: \( \int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2}dx = -\frac{ \sqrt{1-x^2}}{x} - \arcsin(x) +C \)
