Найдем интеграл: \( \int \frac{dx}{x^2\sqrt{4+x^2}} \)
Решение: Найдем неопределенный интеграл $$ \int \frac{dx}{x^2\sqrt{4+x^2}}= \int x^{-2}(4+x^2)^{-\frac{1}{2}}dx $$ Это интеграл от биномиального дифференциала вида $$ \int x^m(a+bx^n)^pdx$$ будем решать применяя одну из подстановок Чебышева и сведем его к интегралу от рациональной функции.
Определим значения констант путем сравнения формулы задания с формулой интеграла от биномиального дифференциала \( m = -2; \quad a = 4; \quad b = 1; \quad n =2; \quad p = -\frac{1}{2} \). Проверим $$ \frac{m+1}{n} + p = \frac{-2+1}{2} -\frac{1}{2} = -1 \in Z$$ получили целое число, т.е. имеем третий случай интегрированности биномиального дифференциала , т.е. нужно применить замену вида (третья подстановка Чебышева) $$ ax^{-n}+b = t^k$$где \(k\) - знаменатель дроби \(p\), т.е. \(k = 2\), получили замену $$ 4x^{-2}+1 = t^2 => x = \frac{2}{ \sqrt{t^2-1}} => dx = -\frac{2t}{ (t^2 -1)^{\frac{3}{2}}}dt $$$$ \int x^{-2}(4+x^2)^{-\frac{1}{2}}dx = \int x^{-2}*x^{-1}(4x^{2-}+1)^{-\frac{1}{2}}dx = $$ Подставляем замену в интеграл $$ =- \int \frac{t^2-1}{4}*(\frac{t^2-1}{4})^{\frac{1}{2}}*t^{-1} \frac{2t}{ (t^2 -1)^{\frac{3}{2}}}dt =$$$$ =- \int \frac{t^2-1}{4}*(\frac{t^2-1}{4})^{\frac{1}{2}}*t^{-1} \frac{2t}{ (t^2 -1)^{\frac{3}{2}}}dt = - \int \frac{1}{4}dt = $$$$ = - \frac{1}{4} \int dt = -\frac{1}{4}t +C = $$ применим обратную замену \(t = \sqrt{4x^{-2}+1} => t = \frac{ \sqrt{4+x^2}}{x} \), получаем $$ = -\frac{1}{4}\frac{ \sqrt{4+x^2}}{x}+C$$
Ответ: \( \int \frac{dx}{x^2\sqrt{4+x^2}} = -\frac{ \sqrt{4+x^2}}{4x}+C \)
