Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/Latin1Supplement.js
Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Вычислить интеграл \int \frac{dx}{\sin^3(x)\cos(x)}


0 Голосов
Анастасия
Posted Май 6, 2015 by Анастасия
Категория: Математический анализ
Всего просмотров: 1102

Вычислить интеграл \int \frac{dx}{\sin^3(x)\cos(x)}

Теги: неопределенный интеграл, интеграл от тригонометрической функции

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Май 6, 2015 by Вячеслав Моргун

Решение: найдем интеграл \int \frac{dx}{\sin^3(x) \cos(x)} \quad (1) 
Находить интеграл будем методом замены независимой переменной. Введем замену ctg(x) = t => -\frac{1}{ \sin^2(x)}dx = dt. Рассмотрим дробь подынтегрального выражения  \frac{dx}{\sin^3(x) \cos(x)} = \frac{dx}{\sin^2(x)}* \frac{1}{\sin(x)\cos(x)}. Преобразуем дробь \frac{1}{\sin(x)\cos(x)}  к ctg(x), проведем преобразования  \frac{1}{\sin(x)\cos(x)} = \frac{1}{\sin(x)\cos(x)}\frac{ \cos(x)}{ \cos(x)} = ctg(x) \frac{1}{ \cos^2(x)}. Применим формулу основного тригонометриченского тождества 1 + tg^2(x) = \frac{1}{ \cos^2(x)} => 1 + \frac{1}{ ctg^2(x)} = \frac{1}{ \cos^2(x)}. Подсатвляем в формулу (1), получаем  \int \frac{dx}{\sin^3(x) \cos(x)} = \int \frac{1}{\sin(x)\cos(x)}\frac{dx}{\sin^2(x)} =  = \int ctg(x) \frac{1}{ \cos^2(x)}\frac{dx}{\sin^2(x)} = \int ctg(x) (1 + \frac{1}{ ctg^2(x)})\frac{dx}{\sin^2(x)} =  применяем замену = - \int t (1 + \frac{1}{ t^2})dt =  - \int (t + \frac{1}{ t})dt = -\frac{1}{2}t^2-  \ln(t) + C =  применяем обратную замену t = ctg(x), получаем  = -\frac{1}{2} ctg^2(x)-  \ln( ctg(x)) + C 
Ответ\int \frac{dx}{\sin^3(x) \cos(x)} = -\frac{1}{2} ctg^2(x)-  \ln( ctg(x)) + C