Вычислить интеграл $$\int \frac{dx}{\sin^3(x)\cos(x)}$$

Решение: найдем интеграл $\int \frac{dx}{\sin^3(x) \cos(x)} \quad (1)$
Находить интеграл будем методом замены независимой переменной. Введем замену $ctg(x) = t => -\frac{1}{ \sin^2(x)}dx = dt$. Рассмотрим дробь подынтегрального выражения $\frac{dx}{\sin^3(x) \cos(x)} = \frac{dx}{\sin^2(x)}* \frac{1}{\sin(x)\cos(x)}$. Преобразуем дробь $\frac{1}{\sin(x)\cos(x)}$ к $ctg(x)$, проведем преобразования $\frac{1}{\sin(x)\cos(x)} = \frac{1}{\sin(x)\cos(x)}\frac{ \cos(x)}{ \cos(x)} = ctg(x) \frac{1}{ \cos^2(x)}$. Применим формулу основного тригонометриченского тождества $1 + tg^2(x) = \frac{1}{ \cos^2(x)} => 1 + \frac{1}{ ctg^2(x)} = \frac{1}{ \cos^2(x)}$. Подсатвляем в формулу (1), получаем $$\int \frac{dx}{\sin^3(x) \cos(x)} = \int \frac{1}{\sin(x)\cos(x)}\frac{dx}{\sin^2(x)} =$$ $$= \int ctg(x) \frac{1}{ \cos^2(x)}\frac{dx}{\sin^2(x)} = \int ctg(x) (1 + \frac{1}{ ctg^2(x)})\frac{dx}{\sin^2(x)} =$$ применяем замену $$= - \int t (1 + \frac{1}{ t^2})dt =  - \int (t + \frac{1}{ t})dt = -\frac{1}{2}t^2-  \ln(t) + C =$$ применяем обратную замену $t = ctg(x)$, получаем $$= -\frac{1}{2} ctg^2(x)-  \ln( ctg(x)) + C$$
Ответ: $\int \frac{dx}{\sin^3(x) \cos(x)} = -\frac{1}{2} ctg^2(x)-  \ln( ctg(x)) + C$