Решение: найдем интеграл \int \frac{dx}{\sin^3(x) \cos(x)} \quad (1)
Находить интеграл будем методом замены независимой переменной. Введем замену ctg(x) = t => -\frac{1}{ \sin^2(x)}dx = dt. Рассмотрим дробь подынтегрального выражения \frac{dx}{\sin^3(x) \cos(x)} = \frac{dx}{\sin^2(x)}* \frac{1}{\sin(x)\cos(x)}. Преобразуем дробь \frac{1}{\sin(x)\cos(x)} к ctg(x), проведем преобразования \frac{1}{\sin(x)\cos(x)} = \frac{1}{\sin(x)\cos(x)}\frac{ \cos(x)}{ \cos(x)} = ctg(x) \frac{1}{ \cos^2(x)}. Применим формулу основного тригонометриченского тождества 1 + tg^2(x) = \frac{1}{ \cos^2(x)} => 1 + \frac{1}{ ctg^2(x)} = \frac{1}{ \cos^2(x)}. Подсатвляем в формулу (1), получаем \int \frac{dx}{\sin^3(x) \cos(x)} = \int \frac{1}{\sin(x)\cos(x)}\frac{dx}{\sin^2(x)} = = \int ctg(x) \frac{1}{ \cos^2(x)}\frac{dx}{\sin^2(x)} = \int ctg(x) (1 + \frac{1}{ ctg^2(x)})\frac{dx}{\sin^2(x)} = применяем замену = - \int t (1 + \frac{1}{ t^2})dt = - \int (t + \frac{1}{ t})dt = -\frac{1}{2}t^2- \ln(t) + C = применяем обратную замену t = ctg(x), получаем = -\frac{1}{2} ctg^2(x)- \ln( ctg(x)) + C
Ответ: \int \frac{dx}{\sin^3(x) \cos(x)} = -\frac{1}{2} ctg^2(x)- \ln( ctg(x)) + C