Решение: угол \( \angle{ABC}\) можно найти несколькими способами
1. Найдем угол \( \angle{ABC}\) как угол между векторами \( \vec{BA}\), \(\vec{BC}\)
Для этого найдем координаты векторов по формуле: $$\vec{AB} = (x_b-x_a;y_b-y_a;z_b-z_a)$$
Подставляем координаты известных точек и получаем
\( \vec{BA} = (4-4;4-10;10-2) = (0;-6;8)\)
\( \vec{BC} = (2-4;8-10;4-2) = (-2;-2;2)\)
Косинус угла между векторами находится по формуле $$ \cos\phi = \frac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{ \sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2} \sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$$
подставляем координаты векторов, получаем $$ \cos(\angle{ABC}) = \frac{0*(-2)+(-6)*(-2)+8*2}{\sqrt{0^2+(-6)^2+8^2}\sqrt{(-2)^2+(-2)^2+2^2}} = \frac{7}{5\sqrt{3}}=>$$$$ \angle{ABC} = \arccos(\frac{7}{5\sqrt{3}}) \approx 36^0$$
2. Найдем угол \( \angle{ABC}\) как угол треугольника \(ΔABC\)
Так как в задании известны координаты всех вершине, то можно найди длины сторон треугольника по теореме Пифагора $$|AB| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$$
Находим длины сторон:
\(|AB| = \sqrt{(4-4)^2 + (10-4)^2+(2-10)^2} = 10 \)
\(|AC| = \sqrt{(2-4)^2 + (8-4)^2+(4-10)^2} = 2\sqrt{14} \)
\(|BC| = \sqrt{(2-4)^2 + (8-10)^2+(4-2)^2} = 2\sqrt{3} \)
Угол \( \angle{ABC}\) будем искать по теореме косинусов $$a^2+b^2 - 2ab\cos(\angle(ab)) = c^2$$ т.к. мы ищем угол между сторонами AB=a и BC=b, то получаем $$10^2+( 2\sqrt{3})^2-2*10* 2\sqrt{3}\cos( \angle{ABC}) = (2\sqrt{14})^2 =>$$$$ \cos( \angle{ABC}) = {5\sqrt{3}} => \angle{ABC} = \arccos(\frac{7}{5\sqrt{3}}) \approx 36^0$$
3. Найдем угол \( \angle{ABC}\) как угол между пересекающимися прямыми \(AB\) и \(BC\) в пространстве
Пусть в пространстве заданы две прямые:
\(l_1 = \frac{x-x_1}{m_1}=\frac{y-y_1}{n_1}=\frac{z-z_1}{p_1}\), где \((x_1;y_1;z_1)\) - точка, принадлежащая прямой, а \(\vec{s_1} = (m_1;n_1;p_1)\) - направляющий вектор
\(l_2 = \frac{x-x_2}{m_2}=\frac{y-y_2}{n_2}=\frac{z-z_2}{p_2}\), где \((x_2;y_1;z_2)\) - точка, принадлежащая прямой, а \(\vec{s_2} = (m_2;n_2;p_2)\) - направляющий вектор
Угол \(\phi\) между прямыми это угол между их направляющими векторами \(\vec{s_1} = (m_1;n_1;p_1)\) и \(\vec{s_2} = (m_2;n_2;p_2)\).
По формуле для косинуса угла между векторами получим $$\cos\phi = \pm\frac{ \vec{s_1}\vec{s_2}}{ |\vec{s_1}||\vec{s_2}|} = \frac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{ \sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2} \sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$$
Все решение сводится к нахождению направляющих векторов см. п.1
\( \vec{BA} = (4-4;4-10;10-2) = (0;-6;8)\)
\( \vec{BC} = (2-4;8-10;4-2) = (-2;-2;2)\)
подставляем координаты векторов в формулу и находим угол $$ \cos(\angle{ABC}) = \frac{0*(-2)+(-6)*(-2)+8*2}{\sqrt{0^2+(-6)^2+8^2}\sqrt{(-2)^2+(-2)^2+2^2}} = \frac{7}{5\sqrt{3}}=>$$$$ \angle{ABC} = \arccos(\frac{7}{5\sqrt{3}}) \approx 36^0$$
