Дано: R, S, T– компоненты электронной системы. Вероятность бесперебойной работы каждого в течение года 0,69, 0,69, 0,86.
Найти:
1. Какова вероятность безотказной работы всей системы на протяжении этого срока, если необходимо, чтобы работали все три компонента?
2. Допустим, достаточно, чтобы работали два из трёх компонентов. Какова вероятность безотказной работы системы в этом случае?
3. Внесенные усовершенствования сделали эксплуатацию системы возможной, если работает хотя бы один из компонентов. Какова вероятность функционирования системы в течение всего года?
Решение:
Введем следующие обозначения:
событие \(A\) - электронная система работает бесперебойно.
событие \(A_R\) - бесперебойно работает электронная компонента R, а событие \(\overline{A_R}\) - не работает , тогда \(P(A_R) = 0.69\), а \(P(\overline{A_R}) = 0.31\)
событие \(A_S\) - бесперебойно работает электронная компонента S, а событие \(\overline{A_S}\) - не работает , тогда \(P(A_S) = 0.69\), а \(P(\overline{A_S}) = 0.31\)
событие \(A_T\) - бесперебойно работает электронная компонента T, а событие \(\overline{A_T}\) - не работает , тогда \(P(A_T) = 0.86\), а \(P(\overline{A_T}) = 0.14\)
1.Какова вероятность безотказной работы всей системы на протяжении этого срока, если необходимо, чтобы работали все три компонента?
О зависимости компонент ничего не говорится, поэтому будем их считать независимыми.
Согласно условия задачи получаем событие $$A = A_RA_SA_T $$
Применим теорему умножения вероятностей \(n\) независимых событий
Если события \(A_1,A_2,...,A_n\) - независимы, то вероятность их произведения равна произведению их вероятностей \(P(A_1A_2*...*A_n) = P(A_1)P(A_2)*...*P(A_n)\)
$$P(A_RA_SA_T) = P( A_R)P(A_S)P(A_T) =$$ подставляем значения вероятностей $$ P(A_RA_SA_T) = 0.69*0.69*0.86 \approx 0.41$$
Ответ: вероятность безотказной работы всей системы на протяжении этого срока, если необходимо, чтобы работали все три компонента равна \(P(A) \approx 0.41\)
2. Допустим, достаточно, чтобы работали два из трёх компонентов. Какова вероятность безотказной работы системы в этом случае?
электронная система работает бесперебойно если работает два блока из трех, т.е. $$A = \overline{A_R}A_SA_T+A_R \overline{A_S}A_T + A_RA_S \overline{A_T}$$
Применим теоремы
1. теорему сложения \(n\) несовместных событий:
Вероятность суммы \(n\) несовместных событий \(A_1,A_2,...,A_n\) равна сумме вероятностей этих событий : \(P(A_1+A_2+...+A_n) = P(A_1)+P(A_2)+...+P(A_n)\)
2. теорему умножения вероятностей \(n\) независимых событий
получаем $$P(A) = P(\overline{A_R}A_SA_T+A_R \overline{A_S}A_T + A_RA_S \overline{A_T}) =$$$$ = P( \overline{A_R}A_SA_T)+P(A_R \overline{A_S}A_T) +P(A_RA_S \overline{A_T}) = $$$$= P(\overline{A_R})P(A_S)P(A_T)+P(A_R)P(\overline{A_S})P(A_T) + P(A_R)P(A_S)P(\overline{A_T}) = $$ подставляем значения вероятностей $$P(A) = 0.31*0.69*0.86 + 0.69*0.31*0.86 + 0.69*0.69*0.14 \approx 0.43$$
Ответ: вероятность безотказной работы всей системы на протяжении этого срока, если необходимо, чтобы работали все два из трех компонента равна \(P(A) \approx 0.43\)
3. Внесенные усовершенствования сделали эксплуатацию системы возможной, если работает хотя бы один из компонентов. Какова вероятность функционирования системы в течение всего года?
Функционирование хотя бы одного компонента подразумевает функционирование одного и более компонентов. В данном случае мы уже нашли вероятности для случаев функционирования трех компонентов, одного, т.е. осталось найти по методу п.2 вероятность функционирования двух компонентов $$A = \overline{A_RA_S}A_T+A_R \overline{A_SA_T} + \overline{A_R}A_S \overline{A_T}$$ и потом сложить вероятности, полученные в п.1,2,3, но проще искать "Хотя бы один ", как дополнение к "ни одного". Т.е. ищем вероятность того, что событие не произойдет, т.е. система выйдет из строя $$\overline{A} = \overline{A_RA_SA_T}$$ тогда вероятность выхода из строя всех элементов равна $$ P(\overline{A}) = P( \overline{A_RA_SA_T}) = P( \overline{A_R})P(\overline{A_S})P(\overline{A_T}) $$ тогда искомая вероятность будет равна $$P(\overline{A}) = 1-P(A) => P(A) = 1 - P(\overline{A})$$ подставляем данные, получаем $$P(A) = 1 - 0.31*0.31*0.14 \approx 0.99$$
Ответ: вероятность безотказной работы всей системы на протяжении этого срока, если необходимо, чтобы работал хотя бы один компонент равна \(P(A) \approx 0.99\)
