Задача: Имеются две партии изделий по 12 и 10 штук, причем в каждой партии одно изделие бракованное. Изделие, взятое наудачу из первой партии,переложено во вторую, после чего выбирается наудачу изделие из второй партии.
Определить вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии.
Решение:
Введем обозначение: обозначим через \(A\) - событие, состоящее в том, что взяли бракованное изделие.
Обозначим через гипотезы
\(H_1\) - из первой партии было выбрано исправное изделие.
\(H_2\) - из первой партии было выбрано бракованное изделие.
Вычислим вероятности гипотез \(P(H_1);P(H_2)\) и условные вероятности \(P(A/H_1); P(A/H_2)\)
Вероятности гипотез будем искать по формуле классического определения вероятностей \(P = \frac{m}{n}\)
Найдем \(P(H_1)\)
\(n\) - число всех равновозможных исходов - число изделий в первой партии, т.е. \(n=12\)
\(m\) - число элементарных исходов, благоприятствующих событию - 11 исправных изделий, т.е \(m=11\)
получаем $$P(H_1) = \frac{m}{n} = \frac{11}{12} $$
Найдем \(P(H_2)\)
\(n\) - число всех равновозможных исходов - число изделий в первой партии, т.е. \(n=12\)
\(m\) - число элементарных исходов, благоприятствующих событию - 1 бракованное изделие, т.е \(m=1\)
получаем $$P(H_2) = \frac{m}{n} = \frac{1}{12}$$
Найдем условные вероятности
Найдем \(P(A/H_1)\)
во вторую партию положили исправное изделие, получили
\(n\) - число всех равновозможных исходов, общее количество изделий равно 10+1=11, т.е. \(n=11\)
\(m\) - число элементарных исходов, благоприятствующих событию \(A\), выбрали бракованное изделие (в партии всего одно бракованное изделие), т.е \(m=1\)
получаем вероятность, что из второй партии взяли бракованное изделие при условии, что из первой партии положили исправное изделие $$P(A/H_1) = \frac{m}{n} = \frac{1}{11} $$
Найдем \(P(A/H_2)\)
во вторую партию положили бракованное изделие, т.е. бракованных изделий стало 1+1=2, получили
\(n\) - число всех равновозможных исходов, общее количество изделий равно 10+1=11, т.е. \(n=11\)
\(m\) - число элементарных исходов, благоприятствующих событию \(A\), выбрали бракованное изделие, т.е \(m=2\)
получаем вероятность, что из второй партии взяли бракованное изделие при условии, что из первой партии положили бракованное изделие $$P(A/H_1) = \frac{m}{n} = \frac{2}{11} $$
Найти вероятность того, что из второй партии взяли бракованное изделие:
применим формулу полной вероятности \(P(A) = \sum_{i=1}^nP(H_i)P(A/H_i)\), получаем $$P(A) = P(H_1)P(A/H_1) + P(H_2)P(A/H_2) = $$$$ =\frac{11}{12}*\frac{1}{11} + \frac{1}{12}* \frac{2}{11} =\approx 0.098$$
Ответ: вероятность того, что из второй партии взяли бракованное изделие равна \(P(A) = 0.098\)
