Решение: найдем интеграл \( \int \frac{ \sqrt{x}}{x+4}dx\)
Подынтегральная функция содержит иррациональность \( \sqrt{x}\), т.е подынтегральная функция содержит линейную иррациональную функцию, которую мы преобразуем к рациональной методом подстановки.
Применим замену $$ \sqrt{x} = t => x = t^2 => dx = 2tdt$$ Подставляем замену $$ \int \frac{ \sqrt{x}}{x+4}dx = \int \frac{t}{t^2+4}2tdt =>$$ выделим целую часть в числителе $$ = 2\int \frac{ t^2 +4 - 4}{t^2+4}dt = 2\int [ 1 - \frac{4}{t^2+4}]dt = $$$$ = 2t - 8\int \frac{1}{t^2+4}]dt = $$ применим формулу табличного интеграла \( \int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a} arctg \frac{x}{a} + C\), получаем $$ = 2t - 8 \frac{1}{2} arctg \frac{t}{2} + C = 2t - 4 arctg \frac{t}{2} + C = $$ применим обратную замену \( t = \sqrt{x} \), получаем $$ = 2 \sqrt{x} - 4 arctg \frac{ \sqrt{x}}{2} + C $$
Ответ: \( \int \frac{ \sqrt{x}}{x+4}dx = 2 \sqrt{x} - 4 arctg \frac{ \sqrt{x}}{2} + C\)
