Решим систему уравнений $$ \begin{cases} 3x+2y+z=5 \\ 6x+9y+3z=3 \\ 2x+y+3z=11 \end{cases}$$
Методом Гаусса
1.Проверяем систему уравнений на совместность. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.
Составим расширенную матрицу системы, приписав к матрице из коэффициентов системы \(A = \left(\begin{array}{c} 3& 2 & 1 \\ 6 & 9 & 3\\ 2 & 1 & 3 \end{array}\right)\) справа столбец свободных членов, получаем : \((A|b) = \left(\begin{array}{c} 3& 2 & 1 \\ 6 & 9 & 3\\ 2 & 1 & 3 \end{array}\left|\begin{array}{c} 5 \\ 3 \\ 11 \end{array}\right.\right)\)
Согласно теоремы Кронекера-Капелли система \(Ax=b\) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы \(rg(A|b)=rgA\)
Найдем ранг матрицы:
2. Используя элементарные преобразования над строками матрицы \((A|b)\) , приведем ее к ступенчатому виду,
для этого используем метод Гаусса.
Прямой ход метода Гаусса. Нам необходимо выбрать ведущий элемент в первом столбце. Для простоты решения нужно чтобы он был равен
1. \((A|b) = \left(\begin{array}{c} 3& 2 & 1 \\ 6 & 9 & 3\\ 2 & 1 & 3 \end{array}\left|\begin{array}{c} 5 \\ 3 \\ 11 \end{array}\right.\right) \sim \)
Берем в качестве ведущего элемента \(a_{11} = 3 \ne 0\). Для упрощения расчетов элемент \(a_{11}\) приведем к 1. Это можно сделать путем вычитания из первой строки третью строку.
\( \left(\begin{array}{c} 1& 1 & -2 \\ 6 & 9 & 3\\ 2 & 1 & 3 \end{array}\left|\begin{array}{c} -6 \\ 3 \\ 11 \end{array}\right.\right) \sim \)
Для упрощения расчетов, разделим вторую строку на \(3\)
\( \left(\begin{array}{c} 1& 1 & -2 \\ 2 & 3 & 1\\ 2 & 1 & 3 \end{array}\left|\begin{array}{c} -6 \\ 1 \\ 11 \end{array}\right.\right) \sim \)
Из второй строки вычтем первую строку, умноженную на \(2\)
\( \left(\begin{array}{c} 1& 1 & -2 \\ 0 & 1 & 5\\ 2 & 1 & 3 \end{array}\left|\begin{array}{c} -6 \\ 13 \\ 11 \end{array}\right.\right) \sim \)
Аналогично из третьей строки вычитаем первую, умноженную на \(2\), получим:
\( \left(\begin{array}{c} 1& 1 & -2 \\ 0 & 1 & 5\\ 0 & -1 & 7 \end{array}\left|\begin{array}{c} -6 \\ 13 \\ 23 \end{array}\right.\right) \sim \)
Берем в качестве ведущего элемента \(a_{22} = 1 \ne 0\).
К третьей строке добавить вторую строку
\( \left(\begin{array}{c} 1& 1 & -2 \\ 0 & 1 & 5\\ 0 & 0 & 12 \end{array}\left|\begin{array}{c} -6 \\ 13 \\ 36 \end{array}\right.\right) \sim \)
Для упрощения расчетов, разделим третью строку на \(3\)
\( \left(\begin{array}{c} 1& 1 & -2 \\ 0 & 1 & 5\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} -6 \\ 13 \\ 3 \end{array}\right.\right) \sim \)
3. Определим ранг матрицы
\(rgA = rg(A|b) = 3\) Согласно теоремы Кронекера-Капелли система совместна. Так как система совместна, продолжаем ее решать методом Гаусса, приводим полученную матрицу \((\widetilde{A}|\widetilde{b})\) к упрощенному виду:
4. Обратный ход метода Гаусса.
Берем в качестве ведущего элемента \(a_{33} = 1 \ne 0\).
Из второй строки вычитаем третью строку, умноженную на \(5\)
\( \left(\begin{array}{c} 1& 1 & -2 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} -6 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right.\right) \sim \)
Складываем первую строку и третью строку, умноженную на \(2\)
\( \left(\begin{array}{c} 1& 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right.\right) \sim \)
Складываем первую строку и вторую строку
\( \left(\begin{array}{c} 1& 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right.\right) \sim \)
Привели матрицу к упрощенному виду.
Ответ: Решением системы уравнений единственное и равно \( \begin{cases} x = 2 \\ y = -2 \\ z = 3 \end{cases} \)
