Задание: Для сдачи зачетов студентам необходимо подготовить 30 вопросов. Из 25 студентов 10 подготовили ответы на все вопросы, 8 - на 25 вопросов, 5- на 20 вопросов и 2- на 15. Вызванный наудачу студент ответил на поставленный ему вопрос. Найти вероятность того, что этот студент:
1) подготовил все вопросы
2) подготовил только половину вопросов
Решение: введем следующие обозначения:
событие \(A\) - наудачу выбранный студент ответил на поставленный ему вопрос.
гипотеза \(H_1\) - на вопрос отвечал студент из первой группы (10 студентов подготовили ответы на все вопросы), тогда вероятность ответа на вопрос этого студента равна \(P(H_1) = \frac{10}{25}\), а вероятность того, что студент этой группы будет отвечать правильно равна \(P(A/H_1) = \frac{30}{30}\)
гипотеза \(H_2\) - на вопрос отвечал студент из второй группы (8 студентов подготовили ответы на 25 вопросов), тогда вероятность ответа на вопрос этого студента равна \(P(H_2) = \frac{8}{25}\), а вероятность того, что студент этой группы будет отвечать правильно равна \(P(A/H_2) = \frac{25}{30}\)
гипотеза \(H_3\) - на вопрос отвечал студент из третьей группы (5 студентов подготовили ответы на 20 вопросов), тогда вероятность ответа на вопрос этого студента равна \(P(H_3) = \frac{5}{25}\), а вероятность того, что студент этой группы будет отвечать правильно равна \(P(A/H_3) = \frac{20}{30}\)
гипотеза \(H_4\) - на вопрос отвечал студент из четвертой группы (2 студента подготовили ответы на 15 вопросов), тогда вероятность ответа на вопрос этого студента равна \(P(H_4) = \frac{2}{25}\), а вероятность того, что студент этой группы будет отвечать правильно равна \(P(A/H_4) = \frac{15}{30}\)
Найдем вероятность того, что студент ответит на вопрос \(P(A)\),
применим формулу полной вероятности:
Рассмотрим \(n\) попарно несовместных событий \(H_1,H_2,...,H_n\) для которых известны вероятности \(P(H_i) \ne 0\) и событие \(A \in H_1+H_2+...+H_n\), причем известны условные вероятности \(P(A/H_i)\), тогда вероятность события \(A\), находится по формуле \(P(A) = \sum_{i=1}^nP(H_i)P(A/H_i)\). Эта формула называется формулой полной вероятности, а события \(H_1,H_2,...H_n\) - гипотезы.
Подставляем данные в формулу полной вероятности, получаем $$P(A) = P(H_1)P(A/H_1) + P(H_2)P(A/H_2) + P(H_3)P(A/H_3)+ P(H_4)P(A/H_4) = $$$$ = \frac{10}{25}*\frac{30}{30} + \frac{8}{25}*\frac{25}{30} + \frac{5}{25}*\frac{20}{30} + \frac{2}{25}*\frac{15}{30}= 0.84$$
Ответ: вероятность того, что вызванный наудачу студент ответил на поставленный ему вопрос. \(P(A) = 0.84\)
Для ответа на следующие вопросы применим формулу Бейеса
Пусть \(H_1,H_2,...,H_n\) - попарно-несовместные события, вероятности которых \(P(H_i) \ne 0\), и событие \(A \subset H_1+H_2+...+H_n\), для которого известны условные вероятности \(P(A/H_i)\). Произведен опыт, в результате которого появилось событие \(A\). Условные вероятности событий \(H_1,H_2,...,H_n\) относительно события \(A\) определяется формулами $$P(H_k/A) = \frac{P(H_k)P(A/H_k)}{\sum_{i=1}^nP(H_i)P(A/H_i)} = \frac{P(H_k)P(A/H_k)}{P(A)} $$
1) Найти вероятность того, что этот студент подготовил ответы на все вопросы
Студент ответил на вопрос, найдем вероятность того, что этот студент подготовил ответы на все вопросы (гипотеза \(H_1\)), т.е. нужно найти вероятность \(P(H_1/A)\). Подставляем данные в формулу $$P(H_1/A) = \frac{P(H_1)P(A/H_1)}{\sum_{i=1}^4P(H_i)P(A/H_i)} = $$$$ =\frac{ \frac{10}{25}*\frac{30}{30}}{ \frac{10}{25}*\frac{30}{30} + \frac{8}{25}*\frac{25}{30} + \frac{5}{25}*\frac{20}{30} + \frac{2}{25}*\frac{15}{30}} = \frac{10}{21} \approx 0.476$$
Ответ: вероятность того, что студент ответивший на вопрос подготовил ответы на все вопросы равна \(P(H_1/A) = 0.476\)
2) Найти вероятность того, что этот студент подготовил ответы на половину вопросов.
Студент ответил на вопрос, найдем вероятность того, что этот студент подготовил ответы на половину т.е. на 15 вопросов (гипотеза \(H_4\)), т.е. нужно найти вероятность \(P(H_4/A)\). Подставляем данные в формулу $$P(H_4/A) = \frac{P(H_4)P(A/H_4)}{\sum_{i=1}^4P(H_i)P(A/H_i)} = $$$$ = \frac{ \frac{2}{25}*\frac{15}{30} }{ \frac{10}{25}*\frac{30}{30} + \frac{8}{25}*\frac{25}{30} + \frac{5}{25}*\frac{20}{30} + \frac{2}{25}*\frac{15}{30}} = \frac{1}{21} \approx 0.048$$
Ответ: вероятность того, что студент ответивший на вопрос подготовил ответы на половину вопросов равна \(P(H_1/A) = 0.048\)
