1. В яхт-клубе состоит 9 человек. Из них надо выбрать председателя, заместителя, казначея и секретаря. Сколькими способами можно это сделать?
Для подсчета количества способов выбора председателя, заместителя, казначея и секретаря вспомним некоторые теоретические данные. Также отмечу, что считаем, что один человек может занимать одну должность, т.е. нет повторений.
Размещение из \(n\) элементов по \(k\) - упорядоченный набор из \(k\) элементов некоторого множества, имеющего \(n\) элементов, при этом в наборе запрещается дублирование. Два таких набора, одинаковых по составу, но отличающихся порядком перечисления элементов, - это два разных размещения. Обозначаются размещения как \(A_n^k\), а рассчитывается количество размещений по формуле \(A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\)
Сочетание из \(n\) элементов по \(k\), как и размещение, является выборкой \(k\) элементов некоего множества, имеющего \(n\) элементов, но при этом выборки, одинаковые по составу, но отличающиеся порядком, не считаются различными. Обозначаются сочетания как \(C_n^k\), а рассчитывается количество сочетаний по формуле \(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)
Напомним, что в случае размещений такие выборки считались бы разными.
Таким образом из задания на основании определений можно сделать вывод: нам необходимо найти выборки из 9 элементов по 4. Все выборки будет отличающимися не только по составу, но и по порядку следования (т.е. например, если в выборке из 4 человек Иванова - секретарь, а если в этой же выборке Иванову назначить председателем, то это уже будет другая выборка), т.е. важен не только состав выборки, но и порядок следования.
Вывод: количество способов выбора на должности председателя, заместителя, казначея и секретаря будут рассчитываться по формуле размещения \(A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\), где \(n = 9; n-k=9-4=5\). $$A_9^4 = \frac{9!}{5!} = 6*7*8*9 = 3024$$
2. Из колоды в 36 карт вытаскивают три карты. Какова вероятность того, что все они тузы?
Решим эту задачу двумя способами:
1. Решим задачу используя классическое определение вероятности
Вероятностью появления некоторого события \(A\) называется отношение числа случаев, благоприятствующих появлению этого события \(m\), к общему числу равновозможных в данном опыте случаев \(n\). Обозначается как \(P(A)\)$$P(A) = \frac{m}{n}$$ Подсчитаем количество благоприятствующих случаем. В данном задании не имеет значение последовательность в выборке, т.е. нас интересует факт попадания в выборку туза без учета следования масти. Т.о. количество случаев будут считаться по формуле сочетаний \(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\), где \(n = 4\) - количество тузов в колоде, а \(k = 3\) количество карт в выборке. $$m = C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4$$Подсчитаем общее число равновозможных случаев, т.е. общее количество выборок по 3 карты из 36, при этом выборки будут разными, если у них разный состав. Выборки с одним составом, но разным порядком следования - одинаковые выборки. Общее число равновозможных случаев будем считать по формуле сочетаний \(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\), где \(n = 36\) - количество карт в колоде, а \(k = 3\) количество карт в выборке. $$m = C_{36}^3 = \frac{36!}{3!(36-3)!} = \frac{36!}{3!33!}=\frac{34*35*36}{3!} =34*35*6$$Рассчитаем вероятность выпадения 3-х тузов $$P = \frac{m}{n} = \frac{4}{34*35*6} = 0,00056$$
2. Решим задачу используя классическое определение вероятности и вероятности наступления совместного события.
Вероятность произведения, или совместного наступления, нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, т.е. для независимых событий вероятность рассчитывается по формуле $$P(A_1A_2A_3) =P(A_1)*P(A_2)*P(a_3)$$В задаче мы рассмотрим 3 события -
\(A_1\) - вытаскивание первого туза
\(A_2\) - вытаскивание второго туза
\(A_3\) - вытаскивание третьего туза
Рассчитаем наступления события \(A_1\) по формуле \(P(A_1) = \frac{m}{n}\), где \(m = 4\) - число благоприятствующих случаев и равно числу тузов в колоде, \(n = 36\) - общее число событий - число карт в колоде. \(P(A_1) = \frac{4}{36} \)
Рассчитаем наступления события \(A_2\) по формуле \(P(A_2) = \frac{m}{n}\), где \(m = 3\) - число благоприятствующих случаев и равно числу тузов в колоде с учетом того, что 1 уже достали, \(n = 35\) - общее число событий - число оставшихся карт в колоде. \(P(A_2) = \frac{3}{35} \)
Рассчитаем наступления события \(A_3\) по формуле \(P(A_3) = \frac{m}{n}\), где \(m = 2\) - число благоприятствующих случаев и равно числу тузов, оставшихся в колоде, \(n = 34\) - общее число событий - число оставшихся карт в колоде. \(P(A_3) = \frac{2}{34} \)
Рассчитаем наступления совместного события (вытащили 3 туза) $$P(A_1A_2A_3) = \frac{4}{36}*\frac{3}{35}*\frac{2}{34} = \frac{4}{34*35*6} = 0,00056$$Ответ: вероятность того, что из колоды 36 карт достанут 3 туза равна \(P = 0,00056\)
