Найти предел не используя правило Лопиталя: \( \lim_{x \to 0}\frac{1-\cos(3x)}{2\sin^2(x)}\)
Решение: найдем предел $$ \lim_{x \to 0}\frac{1-\cos(3x)}{2\sin^2(x)} = \frac{1-1}{0} = \frac{0}{0}$$ получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Будем разрешать неопределенность без применения правила Лопиталя. Проведем преобразования дроби, выделим в числителе и знаменателе множители, которые при нахождении предела стремятся к 0.
Применим формулу косинуса суммы \( \cos(3x) = 4\cos^3(x)-3\cos(x)\), получаем $$ \lim_{x \to 0}\frac{1-\cos(3x)}{2\sin^2(x)}= \lim_{x \to 0}\frac{1-4\cos^3(x)+3\cos(x)}{2\sin^2(x)}= $$$$ = \frac{1}{2}\lim_{x \to 0}\frac{1-4\cos^3(x)+4\cos(x)-\cos(x)}{1 -\cos^2(x)} = \frac{1}{2}\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos(x) +4\cos(x)(1-\cos^2(x))}{1 -\cos^2(x)} =$$$$ = \frac{1}{2}\lim_{x \to 0}[\frac{1-\cos(x)}{1 -\cos^2(x)} + \frac{4\cos(x)(1-\cos^2(x)}{1 -\cos^2(x)}] =$$применим формулу разности квадратов \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) $$= \frac{1}{2}\lim_{x \to 0}[\frac{1-\cos(x)}{(1 -\cos(x))(1 +\cos(x))} + 4\cos(x)] = \frac{1}{2}\lim_{x \to 0}[\frac{1}{1 +\cos(x)} + 4\cos(x)] = $$ в числителе и знаменателе сократили множитель \(1 - \cos(x)\), который при \( \lim_{x \to 0}(1 - \cos(x)) = 0\), продолжаем $$ = \frac{1}{2}[\frac{1}{1 +1} + 4*1] = \frac{9}{4}$$
Ответ: предел \( \lim_{x \to 0}\frac{1-\cos(3x)}{2\sin^2(x)} = \frac{9}{4}\)
