Решение: исследуем на сходимость ряда \( \sum_1^\infty(-1)^n(2^{\frac{1}{n}}-1) \).
Алгоритм исследования знакопеременного ряда
Знакопеременный ряд \( \sum_{n=1}^{\infty}u_n\) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд \(\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|\). Из сходимости абсолютно сходящегося ряда \(\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|\) следует сходимость ряда \(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)
1. исследуем ряд на абсолютную сходимость
для этого составим ряд абсолютных величин \( \sum_1^\infty|(-1)^n(2^{\frac{1}{n}}-1)| = \sum_1^\infty (2^{\frac{1}{n}}-1)\)
Применим граничную форму признака сравнения.
Определение: если для рядов с положительными членами \(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\) и \(\sum_{n=1}^{\infty}v_n\) существует конечный и отличный от нуля предел \( \lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n}=k \ne 0\), тогда оба ряда сходятся или расходятся одновременно. Если \(k=0\), то из сходимости ряда \(\sum_{n=1}^{\infty}v_n\) следует сходимость ряда \(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\).
Для применения этого признака нужно иметь эталонный ряд с известным поведением, например геометрический ряд \(\sum_{n=1}^{\infty}aq^{n-1}\) сходится ,если \(0 < q < 1\) и расходится, если \(q \geq 1\).
Сравним с рядом \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\) - расходящийся ряд.
Найдем предел $$ \lim_{n \to \infty} \frac{2^{\frac{1}{n}}-1}{\frac{1}{n}} = \frac{0}{0}$$ получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Разрешим неопределенность, применим правило Лопиталя
Правило Лопиталя: если \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}\), то $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$
Применим правило Лопиталя, найдем производные числителя и знаменателя дроби $$ \lim_{n \to \infty} \frac{2^{\frac{1}{n}}-1}{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2^{\frac{1}{n}}-1)'}{ ( \frac{1}{n})'} = $$$$ = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{\frac{1}{n}}\ln(2)*(-\frac{1}{n^2})}{ -\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} 2^{\frac{1}{n}}\ln(2) = \ln(2) \ne 0$$
Т.к. ряд, с которым проводилось сравнение \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\) - расходящийся ряд, то и ряд \( \sum_1^\infty (2^{\frac{1}{n}}-1) \) - расходится.
Ответ: ряд абсолютных величин \( \sum_1^\infty (2^{\frac{1}{n}}-1) \) - расходится, поэтому проверяем ряд на условную сходимость.
2. исследуем ряд на условную сходимость
если ряд абсолютных величин расходится, то для исследования на условную сходимость можно исследовать при помощи
признака Лейбница:
1. если члены знакопеременного ряда \( \sum_{n=1}^{\infty}u_n\) начиная с некоторого, монотонно убывают по абсолютной величине \( |u_n| > |u_{n+1}|\)
2. и общий член ряда \( \lim_{n \to \infty} u_n=0\), то ряд сходится.
В этом случае ряд называется условно сходящимся.
2.1. Исследуем на монотонность
\(|u_n| = |(-1)^n(2^{\frac{1}{n}}-1)| = 2^{\frac{1}{n}}-1\)
\(|u_{n+1}| = |(-1)^{n+1}(2^{\frac{1}{n+1}}-1)| = 2^{\frac{1}{n+1}}-1 \)
Сравниваем члены ряда $$ |u_n| - |u_{n+1}| = 2^{\frac{1}{n}}-1 - 2^{\frac{1}{n+1}} +1 = $$$$ = 2^{\frac{1}{n}} - 2^{\frac{1}{n+1}} = 2^{\frac{1}{n}}[1 - 2^{\frac{1}{n+1}- \frac{1}{n} }] = $$$$ = 2^{\frac{1}{n}}[1 - 2^{\frac{n-n-1}{(n+1)n}}] = 2^{\frac{1}{n}}[1 - 2^{-\frac{1}{(n+1)n}}] > 0 => $$$$ |u_n| > |u_{n+1}|$$ ряд монотонно убывающий.
2.2. Найдем предел общего члена ряда $$\lim_{n \to \infty}( 2^{\frac{1}{n}}-1) = 1 -1 = 0$$
Условия теоремы Лейбница выполнилось, ряд условно сходящийся.
Ответ: ряд \( \sum_1^\infty(-1)^n(2^{\frac{1}{n}}-1) \) сходится условно.
