Найти предел не используя правило Лопиталя: \( \lim_{х\to 2}\frac{2-\sqrt{х+2}}{х^2-4} \)
Решение: найдем предел $$ \lim_{х\to 2}\frac{2-\sqrt{х+2}}{х^2-4} = \frac{2-\sqrt{2+2}}{2^2-4} = \frac{0}{0}$$ получили неопределенность вида \( \frac{0}{0} \). Будем разрешать неопределенность без применения правила Лопиталя.
Проведем преобразования, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к числителю, т.е. на \(2+\sqrt{2+2}\) $$ \lim_{х\to 2}\frac{2-\sqrt{х+2}}{х^2-4} = \lim_{х\to 2}\frac{2-\sqrt{х+2}}{х^2-4}\frac{2+\sqrt{х+2}}{2+\sqrt{х+2}} = $$ применим формулу разности квадратов \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)$$ = \lim_{х\to 2}\frac{4-х-2}{х^2-4}\frac{1}{2+\sqrt{х+2}} = \lim_{х\to 2}\frac{2-х}{(х-2)(x+2)}\frac{1}{2+\sqrt{х+2}} = $$$$ = -\lim_{х\to 2} \frac{1}{x+2}\frac{1}{2+\sqrt{х+2}} = -\frac{1}{2+2}\frac{1}{2+\sqrt{2+2}} = -\frac{1}{16}$$
Ответ: \( \lim_{х\to 2}\frac{2-\sqrt{х+2}}{х^2-4}= -\frac{1}{16}\)
